Diberikan fungsi f(x)=x^3+ax+a , dengan a=/=0 . Jika

a < 9/4 dan a ≠ 0.

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x^3 + ax + a, dengan a ≠ 0. Kita perlu mencari nilai 'a' jika terdapat tiga nilai 'y' yang memenuhi f(y) = f'(y).

Pertama, cari turunan pertama dari f(x):
f'(x) = 3x^2 + a

Kemudian, samakan f(y) dengan f'(y):
y^3 + ay + a = 3y^2 + a

Kurangi kedua sisi dengan 'a':
y^3 + ay = 3y^2

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
y^3 - 3y^2 + ay = 0

Faktorkan y:
y(y^2 - 3y + a) = 0

Dari persamaan ini, kita tahu bahwa salah satu solusi adalah y = 0.

Agar ada tiga nilai 'y' yang memenuhi persamaan, maka persamaan kuadrat y^2 - 3y + a = 0 harus memiliki dua solusi berbeda yang bukan nol.

Syarat agar persamaan kuadrat memiliki dua solusi berbeda adalah diskriminan (D) harus lebih besar dari nol:
D = b^2 - 4ac > 0
Dalam kasus ini, b = -3, a = 1, c = a.
Jadi, (-3)^2 - 4(1)(a) > 0
9 - 4a > 0
9 > 4a
a < 9/4

Syarat agar kedua solusi tidak sama dengan nol adalah jika kita substitusikan y=0 ke dalam y^2 - 3y + a, hasilnya tidak boleh nol:
0^2 - 3(0) + a ≠ 0
a ≠ 0

Kondisi ini sudah diberikan dalam soal (a ≠ 0).

Jadi, agar terdapat tiga nilai 'y' yang memenuhi f(y) = f'(y), nilai 'a' harus memenuhi a < 9/4 dan a ≠ 0.