Diberikan fungsi f(x)=x akar(9-x) , dengan daerah asal

(6, 9)

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x * sqrt(9 - x) dengan daerah asal Df = {x | x <= 9, x \\in R}. Untuk mencari interval di mana fungsi f(x) turun, kita perlu mencari turunan pertama f'(x) dan menentukan di mana f'(x) < 0.

Kita gunakan aturan perkalian untuk turunan: (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = x dan v = sqrt(9 - x) = (9 - x)^(1/2).
Maka u' = 1.
Untuk mencari v', kita gunakan aturan rantai: v' = (1/2)(9 - x)^(-1/2) * (-1) = -1 / (2 * sqrt(9 - x)).

Sekarang, kita hitung f'(x):
f'(x) = (1) * sqrt(9 - x) + x * (-1 / (2 * sqrt(9 - x)))
f'(x) = sqrt(9 - x) - x / (2 * sqrt(9 - x))

Untuk menyederhanakan, kita samakan penyebutnya:
f'(x) = [2 * (sqrt(9 - x))^2 - x] / (2 * sqrt(9 - x))
f'(x) = [2 * (9 - x) - x] / (2 * sqrt(9 - x))
f'(x) = (18 - 2x - x) / (2 * sqrt(9 - x))
f'(x) = (18 - 3x) / (2 * sqrt(9 - x))

Fungsi f(x) turun ketika f'(x) < 0. Kita perlu mempertimbangkan dua bagian: pembilang dan penyebut.

Pembilang: 18 - 3x < 0 => 18 < 3x => 6 < x.
Penyebut: 2 * sqrt(9 - x). Agar penyebut terdefinisi dan positif (karena kita hanya peduli tanda f'(x)), kita perlu 9 - x > 0, yang berarti x < 9.

Jadi, agar f'(x) < 0, kita perlu pembilang negatif dan penyebut positif. Ini terjadi ketika 18 - 3x < 0 DAN 2 * sqrt(9 - x) > 0.
Dari 18 - 3x < 0, kita dapatkan x > 6.
Dari 2 * sqrt(9 - x) > 0, kita dapatkan 9 - x > 0, yang berarti x < 9.

Menggabungkan kedua kondisi tersebut, kita mendapatkan 6 < x < 9.

Perlu diperhatikan bahwa pada x=9, fungsi f(x)=0, dan pada x=6, f(x) = 6*sqrt(9-6) = 6*sqrt(3). Turunan f'(x) tidak terdefinisi di x=9 karena penyebutnya menjadi nol. Namun, kita mencari interval di mana fungsi turun, yang berarti kita mencari nilai x di mana kemiringan kurva negatif. Interval (6, 9) memenuhi kondisi ini.