Diketahui lingkaran x^2+y^2-2x+4y=20 memotong garis x+y=4

x^2 + y^2 - 7x - y = 0

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran L yang melalui titik A, B, dan titik asal O, kita perlu mencari terlebih dahulu koordinat titik A dan B, yang merupakan titik potong antara lingkaran x^2+y^2-2x+4y=20 dan garis x+y=4.

Dari persamaan garis x+y=4, kita dapat menyatakan y = 4-x.
Substitusikan y = 4-x ke dalam persamaan lingkaran:
x^2 + (4-x)^2 - 2x + 4(4-x) = 20
x^2 + (16 - 8x + x^2) - 2x + 16 - 4x = 20
2x^2 - 14x + 32 = 20
2x^2 - 14x + 12 = 0
x^2 - 7x + 6 = 0
(x-1)(x-6) = 0
Maka, x = 1 atau x = 6.

Jika x = 1, maka y = 4-1 = 3. Jadi, titik A adalah (1, 3).
Jika x = 6, maka y = 4-6 = -2. Jadi, titik B adalah (6, -2).

Sekarang kita memiliki tiga titik yang dilalui lingkaran L: O(0,0), A(1,3), dan B(6,-2).
Persamaan umum lingkaran adalah x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0.

Karena lingkaran melalui O(0,0):
0^2 + 0^2 + A(0) + B(0) + C = 0  => C = 0.
Jadi, persamaan lingkaran menjadi x^2 + y^2 + Ax + By = 0.

Karena lingkaran melalui A(1,3):
1^2 + 3^2 + A(1) + B(3) = 0
1 + 9 + A + 3B = 0
A + 3B = -10 (Persamaan 1)

Karena lingkaran melalui B(6,-2):
6^2 + (-2)^2 + A(6) + B(-2) = 0
36 + 4 + 6A - 2B = 0
6A - 2B = -40
3A - B = -20 (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B:
Dari Persamaan 2, kita dapatkan B = 3A + 20.
Substitusikan B ke Persamaan 1:
A + 3(3A + 20) = -10
A + 9A + 60 = -10
10A = -70
A = -7

Sekarang cari B:
B = 3(-7) + 20
B = -21 + 20
B = -1

Jadi, persamaan lingkaran L adalah x^2 + y^2 - 7x - y = 0.