Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm . Titik

12/ ext{sqrt}(17) cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik D ke bidang HPQ, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang dalam geometri ruang. Pertama, tentukan koordinat titik-titik yang diketahui. Misalkan D berada di titik asal (0,0,0). Karena ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk 4 cm, maka kita bisa menempatkan titik-titik lain relatif terhadap D. Misalnya, A=(4,0,0), B=(4,4,0), C=(0,4,0), E=(4,0,4), F=(4,4,4), G=(0,4,4), dan H=(0,0,4).

P adalah pertengahan AB, sehingga P = ((4+4)/2, (0+4)/2, (0+0)/2) = (4,2,0).
Q adalah pertengahan BC, sehingga Q = ((4+0)/2, (4+4)/2, (0+0)/2) = (2,4,0).

Bidang HPQ dibentuk oleh titik H=(0,0,4), P=(4,2,0), dan Q=(2,4,0).
Untuk mencari jarak titik D(0,0,0) ke bidang HPQ, kita bisa menggunakan rumus jarak titik ke bidang. Rumus umum jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / 	ext{sqrt}(A^2 + B^2 + C^2)$.

Namun, sebelum menggunakan rumus tersebut, kita perlu mencari persamaan bidang HPQ. Kita bisa menggunakan vektor normal bidang. Vektor $	ext{HP} = P - H = (4,2,0) - (0,0,4) = (4,2,-4)$. Vektor $	ext{HQ} = Q - H = (2,4,0) - (0,0,4) = (2,4,-4)$.
Vektor normal bidang (n) adalah hasil perkalian silang HP dan HQ:
n = HP x HQ = egin{vmatrix} i & j & k \ 4 & 2 & -4 \ 2 & 4 & -4 	ext{vmatrix} = i((-8)-(-16)) - j((-16)-(-8)) + k(16-4) = 8i + 8j + 12k = (8, 8, 12).
Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (2, 2, 3).

Persamaan bidang yang melalui H(0,0,4) dengan normal (2,2,3) adalah 2(x-0) + 2(y-0) + 3(z-4) = 0, yang menghasilkan 2x + 2y + 3z - 12 = 0.

Sekarang, kita hitung jarak dari titik D(0,0,0) ke bidang 2x + 2y + 3z - 12 = 0:
Jarak = $|2(0) + 2(0) + 3(0) - 12| / 	ext{sqrt}(2^2 + 2^2 + 3^2)$
Jarak = $|-12| / 	ext{sqrt}(4 + 4 + 9)$
Jarak = 12 / 	ext{sqrt}(17)
Jarak = 12	ext{sqrt}(17) / 17 cm.