Misal diketahui persamaan

Keliling daerah irisan adalah jumlah panjang kedua busur yang membentuk irisan, dihitung menggunakan rumus panjang busur (jari-jari * sudut pusat) setelah menentukan titik potong dan sudut yang relevan.

Pembahasan

Untuk menentukan keliling daerah irisan dua lingkaran, kita perlu mencari titik potong kedua lingkaran tersebut terlebih dahulu. Persamaan lingkaran yang diberikan adalah:
L1: (x+1)^2 + (y-2)^2 = 16 (Pusat P1=(-1, 2), Jari-jari r1=4)
L2: (x-5)^2 + (y-2)^2 = 9 (Pusat P2=(5, 2), Jari-jari r2=3)

Kedua lingkaran memiliki pusat yang terletak pada garis horizontal y=2. Jarak antara kedua pusat adalah d = |5 - (-1)| = 6.

Karena jarak antara kedua pusat (d=6) sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r1 + r2 = 4 + 3 = 7), maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

Untuk mencari titik potong, kita bisa mengurangkan kedua persamaan:
[(x+1)^2 + (y-2)^2] - [(x-5)^2 + (y-2)^2] = 16 - 9
(x+1)^2 - (x-5)^2 = 7
(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 10x + 25) = 7
x^2 + 2x + 1 - x^2 + 10x - 25 = 7
12x - 24 = 7
12x = 31
x = 31/12

Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan lingkaran untuk mencari y:
(31/12 + 1)^2 + (y-2)^2 = 16
(43/12)^2 + (y-2)^2 = 16
1849/144 + (y-2)^2 = 16
(y-2)^2 = 16 - 1849/144
(y-2)^2 = (2304 - 1849) / 144
(y-2)^2 = 455 / 144
y - 2 = ± sqrt(455) / 12
y = 2 ± sqrt(455) / 12

Jadi, titik potongnya adalah (31/12, 2 + sqrt(455)/12) dan (31/12, 2 - sqrt(455)/12).

Daerah irisan kedua lingkaran dibentuk oleh dua busur lingkaran. Keliling daerah irisan adalah jumlah panjang kedua busur tersebut.

Untuk mencari panjang busur, kita perlu sudut pusat yang dibentuk oleh kedua titik potong pada masing-masing lingkaran.

Pada L1 (pusat P1=(-1, 2), r1=4):
Jarak dari pusat P1 ke garis potong x=31/12 adalah |31/12 - (-1)| = |31/12 + 12/12| = 43/12.
Misalkan sudut pusat pada L1 adalah 2*alpha1. Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P1, titik potong, dan proyeksi titik potong pada garis y=2, kita punya cos(alpha1) = (43/12) / 4 = 43/48.
alpha1 = arccos(43/48).
Panjang busur pada L1 = r1 * (2*alpha1) = 4 * 2 * arccos(43/48) = 8 * arccos(43/48).

Pada L2 (pusat P2=(5, 2), r2=3):
Jarak dari pusat P2 ke garis potong x=31/12 adalah |31/12 - 5| = |31/12 - 60/12| = |-29/12| = 29/12.
Misalkan sudut pusat pada L2 adalah 2*alpha2. Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P2, titik potong, dan proyeksi titik potong pada garis y=2, kita punya cos(alpha2) = (29/12) / 3 = 29/36.
alpha2 = arccos(29/36).
Panjang busur pada L2 = r2 * (2*alpha2) = 3 * 2 * arccos(29/36) = 6 * arccos(29/36).

Keliling daerah irisan = Panjang busur L1 + Panjang busur L2
Keliling = 8 * arccos(43/48) + 6 * arccos(29/36).

Menghitung nilai arccos:
arccos(43/48) ≈ 0.451 radian
arccos(29/36) ≈ 0.638 radian

Keliling ≈ 8 * 0.451 + 6 * 0.638
Keliling ≈ 3.608 + 3.828
Keliling ≈ 7.436 cm

Gambar sketsa:
Kedua lingkaran berada pada garis y=2. Lingkaran pertama berpusat di (-1, 2) dengan jari-jari 4, membentang dari x=-5 sampai x=3. Lingkaran kedua berpusat di (5, 2) dengan jari-jari 3, membentang dari x=2 sampai x=8. Titik potong berada pada garis vertikal x = 31/12 ≈ 2.58.