Diberikan lim _(x -> 0) (cos 2 x-cos 6 x)/(tan ^(2)(a

a = 3

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan limit fungsi trigonometri. Kita diberikan persamaan:
lim (x -> 0) [cos(2x) - cos(6x)] / [tan^2(ax)] = 16/9

Kita perlu mencari nilai 'a' jika a > 0.

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor.

**Metode 1: Menggunakan identitas dan manipulasi aljabar**

Kita tahu bahwa cos(A) - cos(B) = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2).
Jadi, cos(2x) - cos(6x) = -2 sin((2x+6x)/2) sin((2x-6x)/2)
= -2 sin(4x) sin(-2x)
= -2 sin(4x) (-sin(2x))
= 2 sin(4x) sin(2x)

Kita juga tahu bahwa tan(ax) ≈ ax untuk x mendekati 0.
Maka, tan^2(ax) ≈ (ax)^2 = a^2 x^2.

Limit menjadi:
lim (x -> 0) [2 sin(4x) sin(2x)] / [a^2 x^2]

Kita juga tahu bahwa sin(kx) ≈ kx untuk x mendekati 0.
Maka, sin(4x) ≈ 4x dan sin(2x) ≈ 2x.

Limit menjadi:
lim (x -> 0) [2 * (4x) * (2x)] / [a^2 x^2]
= lim (x -> 0) [16x^2] / [a^2 x^2]
= 16 / a^2

Kita diberikan bahwa limit ini sama dengan 16/9.
Jadi, 16 / a^2 = 16 / 9

Ini berarti a^2 = 9.
Karena a > 0, maka a = 3.

**Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (jika diperlukan)**

Jika kita substitusi x=0 ke dalam ekspresi awal, kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Pembilang: cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0.
Penyebut: tan^2(0) = 0^2 = 0.

Kita bisa gunakan aturan L'Hopital.
Turunan pembilang: d/dx [cos(2x) - cos(6x)] = -2sin(2x) - (-6sin(6x)) = -2sin(2x) + 6sin(6x).
Turunan penyebut: d/dx [tan^2(ax)] = 2tan(ax) * sec^2(ax) * a = 2a tan(ax) sec^2(ax).

Limit baru:
lim (x -> 0) [-2sin(2x) + 6sin(6x)] / [2a tan(ax) sec^2(ax)]

Jika kita substitusi x=0 lagi, kita mendapatkan 0/0 lagi.
Kita bisa terapkan L'Hopital lagi atau gunakan kembali pendekatan sin(kx) ≈ kx dan tan(ax) ≈ ax.

Dari penyebut: 2a tan(ax) sec^2(ax).
Saat x->0, tan(ax) -> 0, sec(ax) -> 1. Jadi penyebutnya mendekati 0.

Jika kita gunakan kembali sin(kx) ≈ kx dan tan(ax) ≈ ax pada tahap awal:
lim (x -> 0) [2 sin(4x) sin(2x)] / [a^2 x^2]
= lim (x -> 0) [2 * (4x) * (2x)] / [a^2 x^2]
= lim (x -> 0) [16x^2] / [a^2 x^2]
= 16 / a^2

Karena 16 / a^2 = 16 / 9, maka a^2 = 9.
Karena a > 0, a = 3.

Jadi, nilai a adalah 3.