Diberikan lingkaran L: x^2+y^2-4x+6y+3=0 dan garis g:

Garis g memotong lingkaran L di dua titik.

Pembahasan

Untuk menentukan posisi garis terhadap lingkaran, kita perlu menghitung jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut dan membandingkannya dengan jari-jari lingkaran.

Langkah 1: Ubah persamaan lingkaran ke bentuk umum (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 3 = 0
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = -3
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -3 + 4 + 9
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 10

Pusat lingkaran (a, b) = (2, -3) dan jari-jari r = sqrt(10).

Langkah 2: Tentukan jarak (d) dari pusat lingkaran ke garis g: 2x + 3y - 6 = 0.
Rumus jarak dari titik (x1, y1) ke garis Ax + By + C = 0 adalah: d = |Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Dalam kasus ini, (x1, y1) = (2, -3), A = 2, B = 3, dan C = -6.

d = |2(2) + 3(-3) - 6| / sqrt(2^2 + 3^2)
d = |4 - 9 - 6| / sqrt(4 + 9)
d = |-11| / sqrt(13)
d = 11 / sqrt(13)

Langkah 3: Bandingkan jarak (d) dengan jari-jari (r).
Kita perlu membandingkan 11/sqrt(13) dengan sqrt(10).
Untuk membandingkan, kita bisa mengkuadratkan kedua nilai:
(11/sqrt(13))^2 = 121 / 13 ≈ 9.31
(sqrt(10))^2 = 10

Karena d^2 < r^2 (atau d < r), maka garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda.