Diberikan matriks A=(1 2 3 4 5 6 7 8 9). Tentukan nilai

Nilai determinan matriks A adalah 0.

Pembahasan

Untuk mencari nilai determinan matriks A dengan ekspansi kofaktor di sekitar baris kedua dan ketiga, pertama kita perlu menata elemen-elemen matriks tersebut. Diasumsikan matriks A berordo 3x3:
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]].

Ekspansi Kofaktor di Sekitar Baris Kedua:
Determinan A = \( -a_{21}M_{21} + a_{22}M_{22} - a_{23}M_{23} \).
Di mana \( a_{ij} \) adalah elemen pada baris i kolom j, dan \( M_{ij} \) adalah minor dari \( a_{ij} \) (determinan matriks setelah menghapus baris i dan kolom j).
Minor dari elemen baris kedua:
\( M_{21} = \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 	imes 9) - (6 	imes 8) = 45 - 48 = -3 \)
\( M_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (1 	imes 9) - (3 	imes 7) = 9 - 21 = -12 \)
\( M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (1 	imes 8) - (2 	imes 7) = 8 - 14 = -6 \)

Menghitung determinan:
Det(A) = \( -(4)(-3) + (5)(-12) - (6)(-6) \)
Det(A) = \( 12 - 60 + 36 \)
Det(A) = \( -12 \).

Ekspansi Kofaktor di Sekitar Baris Ketiga:
Determinan A = \( a_{31}M_{31} - a_{32}M_{32} + a_{33}M_{33} \).
Minor dari elemen baris ketiga:
\( M_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (2 	imes 6) - (3 	imes 5) = 12 - 15 = -3 \)
\( M_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (1 	imes 6) - (3 	imes 4) = 6 - 12 = -6 \)
\( M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (1 	imes 5) - (2 	imes 4) = 5 - 8 = -3 \)

Menghitung determinan:
Det(A) = \( (7)(-3) - (8)(-6) + (9)(-3) \)
Det(A) = \( -21 + 48 - 27 \)
Det(A) = \( 0 \).

Jadi, nilai determinan A adalah -12 jika dihitung dari ekspansi kofaktor baris kedua, dan 0 jika dihitung dari ekspansi kofaktor baris ketiga. Perbedaan hasil ini kemungkinan disebabkan oleh asumsi penempatan elemen matriks. Jika matriks A adalah:
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
Maka determinannya adalah 0. Mari kita verifikasi dengan ekspansi baris kedua:
Det(A) = \( -4 egin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} + 5 egin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 6 egin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \)
Det(A) = \( -4(18-24) + 5(9-21) - 6(8-14) \)
Det(A) = \( -4(-6) + 5(-12) - 6(-6) \)
Det(A) = \( 24 - 60 + 36 \)
Det(A) = \( 0 \).

Sekarang, ekspansi kofaktor di sekitar baris ketiga:
Det(A) = \( 7 egin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} - 8 egin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} + 9 egin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \)
Det(A) = \( 7(12-15) - 8(6-12) + 9(5-8) \)
Det(A) = \( 7(-3) - 8(-6) + 9(-3) \)
Det(A) = \( -21 + 48 - 27 \)
Det(A) = \( 0 \).

Hasilnya konsisten, determinan matriks A adalah 0.