Perhatikan gambar di bawah! Dari titik T dibuat garis yang

72°

Pembahasan

Diketahui:
- Lingkaran dengan titik pusat O (tidak disebutkan, tapi diasumsikan ada).
- Titik T di luar lingkaran.
- Garis singgung dari T ke lingkaran di titik A dan B.
- Tali busur CB sejajar dengan garis AT.
- Sudut BAT = 54°.

Ditanya:
Besar sudut BAC.

Penyelesaian:
1.  Karena AT dan TB adalah garis singgung dari titik T ke lingkaran, maka segitiga ATB adalah segitiga sama kaki dengan AT = TB. Ini berarti sudut TAB = sudut TBA.

2.  Sudut yang dibentuk oleh garis singgung (AT) dan tali busur (AB) yang melalui titik singgung (A) sama dengan sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur AB). Jadi, sudut ATB = sudut ACB (sudut keliling yang menghadap busur AB).
    Namun, ini tidak langsung membantu kita mencari BAC.

3.  Gunakan sifat sudut antara garis singgung dan tali busur: Sudut yang dibentuk oleh garis singgung AT dan tali busur AC (sudut TAC) sama dengan sudut keliling yang menghadap busur AC, yaitu sudut ABC.
    Jadi, ∠TAC = ∠ABC.

4.  Karena CB sejajar AT, maka berlaku sifat sudut dalam berseberangan atau sudut yang bersebelahan pada garis sejajar.
    Sudut TBC = Sudut ATB (sudut berseberangan dalam, jika kita anggap TB sebagai transversal).
    Sudut TCA = Sudut CBT (jika CT sebagai transversal).
    Ini juga tidak langsung membantu.

5.  Mari kita gunakan fakta bahwa CB sejajar AT.
    Ini berarti sudut antara transversal (misalnya AB) dan kedua garis sejajar adalah sama jika berada pada sisi yang sama (sudut sehadap/dalam berseberangan).
    Sudut CBT + Sudut BAT = 180° (jika CT sejajar AB, tapi ini tidak diketahui).

    Karena CB || AT, maka sudut antara transversal AC dengan kedua garis sejajar adalah sama.
    Sudut TCA = Sudut CAT (jika TC sejajar AA, tidak relevan).

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal TB dengan kedua garis sejajar adalah sama.
    Sudut ATB = Sudut CBT (sudut bersebelahan dalam, jika TB adalah transversal).
    Ini juga tidak membantu.

    Fokus pada CB || AT:
    Transversal yang memotong kedua garis sejajar:
    - Transversal AB: Sudut TAB dan Sudut TBA adalah bagian dari segitiga sama kaki ATB.
    - Transversal AC: Sudut TCA dan Sudut CAT tidak relevan.
    - Transversal TC: Sudut ATC dan Sudut TCB tidak relevan.
    - Transversal BC: Tidak ada.
    - Transversal AC: Sudut BAC dan Sudut ACB.
    - Transversal TB: Sudut ATB dan Sudut CBT.

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal AC dengan kedua garis sejajar:
    Sudut BAC + Sudut ATC = 180° (jika AC sejajar TC, tidak benar).

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal AB dengan kedua garis sejajar:
    Sudut TAB + Sudut TBA = Sudut yang dibentuk oleh AT dan AB.

    Kembali ke sifat sudut singgung-tali busur:
    ∠BAT = 54°.
    Karena AT = BT (sifat garis singgung), segitiga ATB sama kaki.
    Maka ∠ABT = ∠BAT = 54°.
    ∠ATB = 180° - (54° + 54°) = 180° - 108° = 72°.

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal TB dengan kedua garis sejajar adalah sama.
    ∠CBT = ∠ATB (sudut dalam bersebelahan).
    ∠CBT = 72°.

    Sekarang kita perlu mencari ∠BAC.
    Kita tahu ∠BAT = 54°.
    Sudut BAC adalah bagian dari sudut yang lebih besar.

    Kita tahu ∠ABC = ∠ABT + ∠CBT = 54° + 72° = 126°.

    Gunakan sifat sudut singgung-tali busur lagi:
    ∠CAT = ∠ABC (sudut antara singgung AT dan tali busur AC = sudut keliling yang menghadap busur AC).
    Jadi, ∠CAT = 126°.

    Ini tampaknya salah, karena ∠CAT seharusnya lebih kecil dari ∠BAT atau sama.

    Mari kita ulangi sifat sudut singgung-tali busur:
    Sudut antara garis singgung AT dan tali busur AB adalah ∠BAT = 54°.
    Sudut ini sama dengan sudut keliling yang menghadap busur AB, yaitu ∠ACB.
    Jadi, ∠ACB = 54°.

    Karena CB || AT, maka:
    Sudut ABC + Sudut BAT = 180° (sudut berdekatan dalam, jika AC adalah transversal, tapi ini tidak benar).

    Karena CB || AT, maka:
    Sudut TCA = Sudut CAT (sudut dalam bersebelahan, jika TC transversal, tidak benar).

    Karena CB || AT, maka:
    Sudut CBT = Sudut ATB (sudut dalam bersebelahan, jika TB transversal).
    Kita sudah hitung ∠ATB = 72°.
    Jadi, ∠CBT = 72°.

    ∠ABC = ∠ABT + ∠CBT = 54° + 72° = 126°.

    Sekarang kita tahu:
    ∠ACB = 54° (sudut singgung-tali busur AB).
    ∠ABC = 126°.

    Dalam segitiga ABC, jumlah sudutnya adalah 180°.
    ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
    ∠BAC + 126° + 54° = 180°
    ∠BAC + 180° = 180°
    ∠BAC = 0°.
    Ini jelas salah.

    Ada kesalahan dalam penerapan sifat sudut.

    Mari kita coba lagi:
    AT adalah garis singgung, AB adalah tali busur. ∠BAT = 54°.
    Sudut antara garis singgung dan tali busur sama dengan sudut keliling yang menghadap tali busur tersebut.
    Jadi, ∠BAT = ∠BCA = 54°.

    Karena CB || AT, maka:
    Sudut ABC = Sudut TAB (sudut bersebelahan dalam, jika AB adalah transversal).
    ∠ABC = 54°.

    Sekarang kita punya:
    ∠BCA = 54°.
    ∠ABC = 54°.

    Dalam segitiga ABC:
    ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
    ∠BAC + 54° + 54° = 180°
    ∠BAC + 108° = 180°
    ∠BAC = 180° - 108°
    ∠BAC = 72°.

    Mari kita cek konsistensi.
    Jika ∠BAC = 72° dan ∠BCA = 54°, maka ∠ABC = 54°.
    Ini berarti segitiga ABC sama kaki dengan AB = BC.

    Dari AT = BT, segitiga ATB sama kaki, ∠ABT = ∠BAT = 54°.
    ∠ATB = 180 - (54+54) = 72°.

    Karena CB || AT, maka ∠CBT = ∠ATB (sudut dalam bersebelahan, jika TB transversal).
    ∠CBT = 72°.

    Sekarang ∠ABC = ∠ABT + ∠CBT = 54° + 72° = 126°.
    Tapi kita dapatkan ∠ABC = 54° dari CB || AT dan AB transversal.
    Ada kontradiksi.

    Kemungkinan interpretasi gambar atau sifat sudut yang digunakan.

    Mari gunakan sifat sudut antara singgung AT dan tali busur AC:
    Sudut ATC tidak relevan.
    Sudut yang dibentuk oleh garis singgung AT dan tali busur AC adalah ∠TAC.
    Sudut ini sama dengan sudut keliling yang menghadap tali busur AC, yaitu ∠ABC.
    Jadi, ∠TAC = ∠ABC.

    Kita tahu ∠BAT = 54°.
    ∠BAC = ∠TAC - ∠BAT ? atau ∠BAC = ∠BAT - ∠TAC?
    Tergantung posisi titik.

    Karena CB || AT:
    Sudut TBC = Sudut ATB (sudut dalam bersebelahan).
    Dalam segitiga ATB, AT=BT, maka ∠ABT = ∠BAT = 54°.
    ∠ATB = 180 - (54+54) = 72°.
    Jadi, ∠TBC = 72°.

    Sekarang, perhatikan sudut di titik B pada lingkaran.
    Sudut ABC = Sudut ABT + Sudut TBC = 54° + 72° = 126°.

    Sudut antara singgung AT dan tali busur AC adalah ∠TAC.
    Sudut ini sama dengan sudut keliling yang menghadap busur AC, yaitu ∠ABC.
    Jadi, ∠TAC = ∠ABC = 126°.

    Ini tidak mungkin karena ∠TAC seharusnya lebih kecil dari ∠BAT atau sama.

    Kemungkinan lain: ∠BAT dan ∠BAC adalah sudut yang berdekatan.
    Sudut yang dibentuk oleh garis singgung AT dan tali busur AC adalah ∠CAT.
    ∠CAT = ∠ABC.

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal AC adalah sudut dalam bersebelahan yang jumlahnya 180 derajat.
    ∠BAC + ∠ATC = 180° (jika AC || TC, tidak benar).

    Karena CB || AT, maka sudut yang dibentuk oleh transversal AC:
    Sudut BAC dan sudut yang berhadapan dengan sudut BAT (yaitu sudut antara AT dan AC).

    Mari gunakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
    Busur BC. Sudut keliling yang menghadap busur BC adalah ∠BAC.
    Sudut antara singgung TB dan tali busur BC adalah ∠TBC.
    ∠TBC = ∠BAC.
    Kita sudah hitung ∠TBC = 72°.
    Jadi, ∠BAC = 72°.

    Mari kita cek lagi:
    Jika ∠BAC = 72°.
    ∠BAT = 54°.
    Maka ∠TAC = ∠BAC + ∠BAT = 72° + 54° = 126°.
    Sudut keliling yang menghadap busur AC adalah ∠ABC.
    Maka ∠ABC = ∠TAC = 126°.

    Sekarang kita harus memastikan apakah ∠ABC = 126° konsisten dengan CB || AT.
    ∠ABC = 126°.
    ∠ABT = 54°.
    ∠TBC = ∠ABC - ∠ABT = 126° - 54° = 72°.

    Kita tahu AT = BT, maka ∠ABT = ∠BAT = 54°.
    ∠ATB = 180 - (54+54) = 72°.

    Karena CB || AT, maka ∠CBT = ∠ATB (sudut dalam bersebelahan).
    72° = 72°.
    Ini konsisten.

    Jadi, ∠BAC = 72°.