Diberikan matriks P=(3 1 0 1 4 3 2 2 1), invers dari P

[[2, 1, -3], [-5, -3, 9], [6, 4, -11]]

Pembahasan

Untuk mencari invers dari matriks P, kita perlu mengetahui elemen-elemen matriks P terlebih dahulu. Matriks P diberikan sebagai P=(3 1 0 1 4 3 2 2 1). Kita asumsikan ini adalah matriks 3x3:

\( P = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Langkah-langkah mencari invers matriks (P⁻¹):

1.  **Hitung determinan matriks P (det(P)).**
    \( \text{det}(P) = 3 \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \)
    \( \text{det}(P) = 3((4 \times 1) - (3 \times 2)) - 1((1 \times 1) - (3 \times 2)) + 0 \)
    \( \text{det}(P) = 3(4 - 6) - 1(1 - 6) \)
    \( \text{det}(P) = 3(-2) - 1(-5) \)
    \( \text{det}(P) = -6 + 5 \)
    \( \text{det}(P) = -1 \)

2.  **Cari matriks adjoin (adj(P)).**
    Matriks adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor.
    a.  **Hitung matriks minor:**
        \( M_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \)
        \( M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \)
        \( M_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 8 = -6 \)
        \( M_{21} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1 \)
        \( M_{22} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3 \)
        \( M_{23} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \)
        \( M_{31} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3 \)
        \( M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 0 = 9 \)
        \( M_{33} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 1 = 11 \)

    b.  **Hitung matriks kofaktor (C):** Kofaktor \( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \).
        \( C = \begin{pmatrix} -2 & -(-5) & -6 \\ -(1) & 3 & -(4) \\ 3 & -(9) & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 & -6 \\ -1 & 3 & -4 \\ 3 & -9 & 11 \end{pmatrix} \)

    c.  **Hitung matriks adjoin (adj(P)):** Adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor.
        \( \text{adj}(P) = C^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -9 \\ -6 & -4 & 11 \end{pmatrix} \)

3.  **Hitung invers matriks P (P⁻¹):**
    \( P^{-1} = \frac{1}{\text{det}(P)} \text{adj}(P) \)
    \( P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -9 \\ -6 & -4 & 11 \end{pmatrix} \)
    \( P^{-1} = -1 \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -9 \\ -6 & -4 & 11 \end{pmatrix} \)
    \( P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & -3 & 9 \\ 6 & 4 & -11 \end{pmatrix} \)

Jadi, invers dari matriks P adalah \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & -3 & 9 \\ 6 & 4 & -11 \end{pmatrix}\).