Diberikan sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan

Panjang AP adalah √21 cm dan luas segitiga PBO adalah √21 cm².

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri lingkaran, khususnya garis singgung.

Diketahui:
- Lingkaran berpusat di O.
- Titik P terletak di luar lingkaran.
- Jari-jari lingkaran (r) = 2 cm.
- Jarak dari pusat ke titik P (OP) = 5 cm.
- PA dan PB adalah garis singgung lingkaran di titik A dan B.

Kita perlu mencari:
a. Panjang AP
b. Luas segitiga PBO

Mari kita selesaikan satu per satu:

a. Menghitung panjang AP

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung. Oleh karena itu, sudut OAP adalah sudut siku-siku (90 derajat).

Ini berarti segitiga OAP adalah segitiga siku-siku dengan sisi miring OP (hipotenusa).
Kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga OAP:
OP^2 = OA^2 + AP^2

Dimana:
OP = 5 cm (jarak dari pusat ke titik P)
OA = jari-jari lingkaran = 2 cm
AP = panjang garis singgung yang dicari

Substitusikan nilai yang diketahui:
5^2 = 2^2 + AP^2
25 = 4 + AP^2

Pindahkan 4 ke sisi lain:
AP^2 = 25 - 4
AP^2 = 21

Untuk mendapatkan panjang AP, kita ambil akar kuadrat dari 21:
AP = √21 cm

Jadi, panjang AP adalah √21 cm.

b. Menghitung luas segitiga PBO

Perhatikan segitiga PBO. Kita tahu:
- OP = 5 cm
- OB = jari-jari lingkaran = 2 cm
- Sudut OBP adalah sudut siku-siku (karena PB adalah garis singgung dan OB adalah jari-jari ke titik singgung B).

Ini berarti segitiga PBO adalah segitiga siku-siku dengan sisi miring OP.

Luas segitiga siku-siku dihitung dengan rumus:
Luas = 1/2 * alas * tinggi

Dalam segitiga PBO, kita bisa menganggap OB sebagai alas dan PB sebagai tinggi (atau sebaliknya).
Kita sudah tahu OB = 2 cm.
Kita perlu mencari panjang PB. Karena PA dan PB adalah garis singgung dari titik yang sama (P) ke lingkaran yang sama, maka panjang PA = PB.

Dari perhitungan bagian a, kita tahu AP = √21 cm. Maka, PB juga = √21 cm.

Sekarang kita bisa menghitung luas segitiga PBO:
Luas Segitiga PBO = 1/2 * OB * PB
Luas Segitiga PBO = 1/2 * 2 cm * √21 cm
Luas Segitiga PBO = 1 cm * √21 cm
Luas Segitiga PBO = √21 cm²

Jadi, luas segitiga PBO adalah √21 cm².