Diberikan sistem persamaan linear berikut. x+2y-3z=4

Sistem tidak memiliki solusi untuk a = -4.

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear:
1.  $x + 2y - 3z = 4$
2.  $3x - y + 5z = 2$
3.  $4x + y + (a^2 - 14)z = a + 2$

Sistem ini tidak memiliki solusi jika salah satu persamaan menjadi kontradiksi setelah eliminasi.

Mari kita coba eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2), serta dari persamaan (1) dan (3).

**Eliminasi y dari (1) dan (2):**
Kalikan persamaan (1) dengan 1:
$x + 2y - 3z = 4$
Kalikan persamaan (2) dengan 2:
$6x - 2y + 10z = 4$
Jumlahkan kedua persamaan tersebut:
$(x + 6x) + (2y - 2y) + (-3z + 10z) = 4 + 4$
$7x + 7z = 8$ (Persamaan 4)

**Eliminasi y dari (1) dan (3):**
Kalikan persamaan (1) dengan 1:
$x + 2y - 3z = 4$
Kalikan persamaan (3) dengan 2:
$8x + 2y + 2(a^2 - 14)z = 2(a + 2)$
$8x + 2y + (2a^2 - 28)z = 2a + 4$
Kurangkan persamaan (1) dari persamaan yang baru dikali 2:
$(8x - x) + (2y - 2y) + ((2a^2 - 28)z - (-3z)) = (2a + 4) - 4$
$7x + (2a^2 - 28 + 3)z = 2a$
$7x + (2a^2 - 25)z = 2a$ (Persamaan 5)

Agar sistem tidak memiliki solusi, kedua persamaan hasil eliminasi (Persamaan 4 dan Persamaan 5) harus merepresentasikan garis-garis sejajar atau kontradiksi. Ini terjadi jika koefisien $x$ dan $z$ pada kedua persamaan berbanding sama, tetapi konstanta di sisi kanan tidak.

Perbandingan koefisien $x$ pada Persamaan 4 dan 5 adalah $7/7 = 1$.
Perbandingan koefisien $z$ pada Persamaan 4 dan 5 adalah $7 / (2a^2 - 25)$.

Agar sistem tidak memiliki solusi, kedua perbandingan ini harus sama:
$1 = 7 / (2a^2 - 25)$
$2a^2 - 25 = 7$
$2a^2 = 32$
$a^2 = 16$
$a = 
pm{4}$

Sekarang, kita periksa perbandingan konstanta. Jika $a=4$ atau $a=-4$, kita harus memastikan perbandingan konstanta tidak sama dengan perbandingan koefisien.

Jika $a = 4$:
Persamaan 4: $7x + 7z = 8$
Persamaan 5: $7x + (2(4^2) - 25)z = 2(4)$
$7x + (2(16) - 25)z = 8$
$7x + (32 - 25)z = 8$
$7x + 7z = 8$

Dalam kasus $a=4$, Persamaan 4 dan Persamaan 5 identik ($7x + 7z = 8$). Ini berarti sistem memiliki tak hingga banyak solusi (karena ada dua persamaan yang sama dan satu persamaan asli yang bebas).

Jika $a = -4$:
Persamaan 4: $7x + 7z = 8$
Persamaan 5: $7x + (2((-4)^2) - 25)z = 2(-4)$
$7x + (2(16) - 25)z = -8$
$7x + (32 - 25)z = -8$
$7x + 7z = -8$

Sekarang kita memiliki dua persamaan:
$7x + 7z = 8$
$7x + 7z = -8$

Kedua persamaan ini bertentangan. Tidak ada nilai $x$ dan $z$ yang dapat memenuhi kedua persamaan ini secara bersamaan. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi ketika $a = -4$.

Jadi, nilai $a$ agar sistem tidak memiliki solusi adalah -4.