Selesaikan program linear berikut. Maksimumkan f(x,

Nilai maksimum program linear adalah 310 pada titik (4, 5).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan program linear ini, kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi tujuan $f(x, y) = 40x + 30y$ dengan batasan yang diberikan:
1.  $5x + 2y \le 30$
2.  $2x + 4y \le 28$ (dapat disederhanakan menjadi $x + 2y \le 14$)
3.  $y \le 6$
4.  $x \ge 0$
5.  $y \ge 0$

Langkah-langkahnya adalah:
1.  **Menggambar Daerah yang Memenuhi Kendala (Feasible Region):**
    Kita akan menggambar garis-garis dari setiap ketidaksamaan pada sistem koordinat Kartesius.
    *   Garis 1: $5x + 2y = 30$. Titik potong sumbu-x (y=0): $5x = 30 \implies x = 6$. Titik (6, 0). Titik potong sumbu-y (x=0): $2y = 30 \implies y = 15$. Titik (0, 15).
    *   Garis 2: $x + 2y = 14$. Titik potong sumbu-x (y=0): $x = 14$. Titik (14, 0). Titik potong sumbu-y (x=0): $2y = 14 \implies y = 7$. Titik (0, 7).
    *   Garis 3: $y = 6$. Ini adalah garis horizontal.
    *   Kendala $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ berarti kita berada di kuadran pertama.

2.  **Mencari Titik-titik Sudut (Vertices) dari Feasible Region:**
    Titik-titik sudut adalah perpotongan dari garis-garis kendala.
    *   **Titik A:** Perpotongan sumbu-x dan sumbu-y (karena kendala lain berada di atasnya di kuadran pertama). $A = (0, 0)$.
    *   **Titik B:** Perpotongan sumbu-y dengan garis $x + 2y = 14$. $x=0 \implies 2y = 14 \implies y=7$. Namun, kendala $y \le 6$ membatasi ini. Jadi, titik potong sumbu-y dengan $y=6$ dan $x=0$ adalah $B = (0, 6)$.
    *   **Titik C:** Perpotongan garis $y=6$ dengan garis $x + 2y = 14$. Substitusi $y=6$ ke $x + 2y = 14$: $x + 2(6) = 14 \implies x + 12 = 14 \implies x = 2$. Jadi, $C = (2, 6)$.
    *   **Titik D:** Perpotongan garis $5x + 2y = 30$ dengan garis $x + 2y = 14$. Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
        $(5x + 2y) - (x + 2y) = 30 - 14$
        $4x = 16$
        $x = 4$
        Substitusi $x=4$ ke $x + 2y = 14$: $4 + 2y = 14 \implies 2y = 10 \implies y = 5$. Jadi, $D = (4, 5)$.
    *   **Titik E:** Perpotongan garis $5x + 2y = 30$ dengan sumbu-x ($y=0$). $5x = 30 \implies x=6$. Jadi, $E = (6, 0)$.

    Kita perlu memeriksa apakah semua titik sudut ini memenuhi semua kendala.
    *   A(0,0): Memenuhi semua.
    *   B(0,6): $5(0)+2(6)=12\le 30$, $0+2(6)=12\le 14$, $6\le 6$. Memenuhi.
    *   C(2,6): $5(2)+2(6)=10+12=22\le 30$, $2+2(6)=2+12=14\le 14$, $6\le 6$. Memenuhi.
    *   D(4,5): $5(4)+2(5)=20+10=30\le 30$, $4+2(5)=4+10=14\le 14$, $5\le 6$. Memenuhi.
    *   E(6,0): $5(6)+2(0)=30\le 30$, $6+2(0)=6\le 14$, $0\le 6$. Memenuhi.

3.  **Mengevaluasi Fungsi Tujuan di Setiap Titik Sudut:**
    *   $f(0, 0) = 40(0) + 30(0) = 0$
    *   $f(0, 6) = 40(0) + 30(6) = 180$
    *   $f(2, 6) = 40(2) + 30(6) = 80 + 180 = 260$
    *   $f(4, 5) = 40(4) + 30(5) = 160 + 150 = 310$
    *   $f(6, 0) = 40(6) + 30(0) = 240$

4.  **Menentukan Nilai Maksimum:**
    Nilai maksimum dari $f(x, y)$ adalah 310, yang terjadi pada titik $(4, 5)$.

Jadi, nilai maksimum dari program linear tersebut adalah 310.