Diberikan suatu segitiga ABC dengan perbandingan sisi-sisi

sqrt(15)

Pembahasan

Dalam segitiga ABC, jumlah sudut-sudutnya adalah 180 derajat, sehingga A + B + C = 180°.
Dari sini, kita dapat menyatakan A + B = 180° - C.

Maka, tan(A + B) = tan(180° - C).
Menggunakan identitas trigonometri tan(180° - x) = -tan x, kita dapatkan:
tan(A + B) = -tan C.

Untuk mencari nilai tan C, kita perlu mengetahui panjang sisi-sisi segitiga tersebut. Karena perbandingannya adalah a:b:c = 2:3:4, kita bisa misalkan panjang sisinya adalah 2k, 3k, dan 4k.
Kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari sudut C.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C
(4k)^2 = (2k)^2 + (3k)^2 - 2(2k)(3k) cos C
16k^2 = 4k^2 + 9k^2 - 12k^2 cos C
16k^2 = 13k^2 - 12k^2 cos C
3k^2 = -12k^2 cos C
cos C = 3k^2 / -12k^2
cos C = -1/4

Karena cos C bernilai negatif, maka sudut C adalah sudut tumpul.
Sekarang kita perlu mencari sin C untuk menghitung tan C.
Sin^2 C + Cos^2 C = 1
Sin^2 C + (-1/4)^2 = 1
Sin^2 C + 1/16 = 1
Sin^2 C = 1 - 1/16
Sin^2 C = 15/16
Sin C = sqrt(15)/4 (karena C sudut segitiga, sin C positif)

Sekarang kita bisa hitung tan C:
tan C = sin C / cos C
tan C = (sqrt(15)/4) / (-1/4)
tan C = -sqrt(15)

Karena tan(A + B) = -tan C, maka:
tan(A + B) = -(-sqrt(15))
tan(A + B) = sqrt(15)