Diberikan suku banyak p(x)=x^2+b x+a . jika a dan b dipilih

2/3

Pembahasan

Untuk menentukan peluang suku banyak p(x) = x² + bx + a tidak mempunyai akar, kita perlu memahami kondisi agar suku banyak kuadratik tidak mempunyai akar real. Suku banyak kuadratik ax² + bx + c tidak mempunyai akar real jika diskriminannya (D) kurang dari nol (D < 0).

Diskriminan dihitung dengan rumus D = b² - 4ac.
Dalam kasus ini, a = 1 (koefisien x²), b adalah koefisien x, dan c = a (konstanta).
Jadi, diskriminan untuk p(x) = x² + bx + a adalah D = b² - 4(1)(a) = b² - 4a.

Agar p(x) tidak mempunyai akar, maka D < 0, yang berarti b² - 4a < 0, atau b² < 4a.

Kita diberi informasi bahwa a dan b dipilih secara acak dari selang [0, 4]. Ini berarti 0 ≤ a ≤ 4 dan 0 ≤ b ≤ 4. Luas total dari ruang sampel ini adalah (4 - 0) * (4 - 0) = 16.

Sekarang, kita perlu mencari luas area di mana b² < 4a dalam persegi satuan dengan sisi 4 (dari 0 sampai 4 untuk a dan b).
Kita bisa memvisualisasikan ini dengan menggambar grafik a pada sumbu horizontal dan b pada sumbu vertikal. Kita mencari area di bawah kurva b = 4a dan di atas b = 0, serta di dalam persegi 0≤a≤4 dan 0≤b≤4.

Area ini dihitung dengan integral:
Luas Area = ∫[dari 0 sampai 4] min(4, √(4a)) da

Namun, kita juga perlu mempertimbangkan batas b ≤ 4. Jadi, kita perlu mencari nilai a di mana √(4a) = 4, yaitu 4a = 16, atau a = 4. Untuk a < 4, √(4a) akan kurang dari 4.

Kita hitung integral dari 0 sampai 4 untuk fungsi b = √(4a):
Luas Area = ∫[dari 0 sampai 4] √(4a) da
Luas Area = ∫[dari 0 sampai 4] 2√a da
Luas Area = 2 * [ (2/3)a^(3/2) ] [dari 0 sampai 4]
Luas Area = 2 * ( (2/3) * 4^(3/2) - (2/3) * 0^(3/2) )
Luas Area = 2 * ( (2/3) * (√4)³ )
Luas Area = 2 * ( (2/3) * 2³ )
Luas Area = 2 * ( (2/3) * 8 )
Luas Area = 2 * (16/3)
Luas Area = 32/3.

Peluang = Luas Area / Luas Total Ruang Sampel
Peluang = (32/3) / 16
Peluang = (32/3) * (1/16)
Peluang = 32 / 48
Peluang = 2 / 3.

Jadi, peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah 2/3.