Diberikan tan x= 2,4 dan tan y = 0,28. Hitunglah (ada dua

41/sqrt(113906) atau -209/sqrt(113906)

Pembahasan

Diketahui $\\tan x = 2.4$ dan $\\tan y = 0.28$.
Kita ingin menghitung $\\cos(x+y)$.
Rumus untuk $\\cos(x+y)$ adalah $\\cos(x+y) = \\cos x \\cos y - \\sin x \\sin y$.
Untuk menggunakan rumus ini, kita perlu mencari nilai $\\sin x, \\cos x, \\sin y, \\cos y$ dari nilai $\\tan x$ dan $\\tan y$.

Kasus 1: x dan y di kuadran I (semua positif)
Untuk $\\tan x = 2.4 = \\frac{24}{10} = \\frac{12}{5}$.
Misalkan sisi depan = 12, sisi samping = 5, maka sisi miring = $\\sqrt{12^2 + 5^2} = \\sqrt{144 + 25} = \\sqrt{169} = 13$.
Jadi, $\\sin x = \\frac{12}{13}$ dan $\\cos x = \\frac{5}{13}$.

Untuk $\\tan y = 0.28 = \\frac{28}{100} = \\frac{7}{25}$.
Misalkan sisi depan = 7, sisi samping = 25, maka sisi miring = $\\sqrt{7^2 + 25^2} = \\sqrt{49 + 625} = \\sqrt{674}$.
Jadi, $\\sin y = \\frac{7}{\\sqrt{674}}$ dan $\\cos y = \\frac{25}{\\sqrt{674}}$.

Hitung $\\cos(x+y)$:
$\\cos(x+y) = \\cos x \\cos y - \\sin x \\sin y$
$= \\left(rac{5}{13}\right) \\left(rac{25}{\\sqrt{674}}\right) - \\left(rac{12}{13}\right) \\left(rac{7}{\\sqrt{674}}\right)$
$= \\frac{125}{13 \\sqrt{674}} - \\frac{84}{13 \\sqrt{674}}$
$= \\frac{41}{13 \\sqrt{674}}$
Rationalisasi penyebut:
$= \\frac{41 \\sqrt{674}}{13 \\cdot 674} = \\frac{41 \\sqrt{674}}{8762}$.

Alternatif lain: Gunakan rumus $\\tan(x+y) = \\frac{\\tan x + \\tan y}{1 - \\tan x \\tan y}$.
$\\tan(x+y) = \\frac{2.4 + 0.28}{1 - 2.4 \\cdot 0.28} = \\frac{2.68}{1 - 0.672} = \\frac{2.68}{0.328} = \\frac{2680}{328} = \\frac{335}{41}$.
Jika $\\tan(x+y) = \\frac{335}{41}$, maka sisi depan = 335, sisi samping = 41.
Sisi miring = $\\sqrt{335^2 + 41^2} = \\sqrt{112225 + 1681} = \\sqrt{113906}$.
Maka $\\cos(x+y) = \\frac{41}{\\sqrt{113906}} = \\frac{41 \\sqrt{113906}}{113906}$.
Perhatikan bahwa $\\sqrt{113906} = \\sqrt{168.359...}$. Nilai ini tidak sama dengan $13 \\sqrt{674}$. Ada kesalahan dalam perhitungan.
Mari kita periksa kembali $\\sqrt{674}$. $\\sqrt{674} \\approx 25.96$. $13 \\times 25.96 = 337.48$. $\\frac{41}{337.48} \\approx 0.1215$. $41 \\sqrt{674} / 8762 \\approx 41 * 25.96 / 8762 \\approx 1064.36 / 8762 \\approx 0.1215$.

Mari kita cek $113906$. $\\sqrt{113906} \\approx 337.5$. $41 / 337.5 \\approx 0.1215$. Nilai $\\cos(x+y)$ konsisten.

Kasus 2: x di kuadran II, y di kuadran I
Jika x di kuadran II, $\\sin x = \\frac{12}{13}$ dan $\\cos x = -\\frac{5}{13}$.
$\\cos(x+y) = \\left(-rac{5}{13}\right) \\left(rac{25}{\\sqrt{674}}\right) - \\left(rac{12}{13}\right) \\left(rac{7}{\\sqrt{674}}\right)$
$= \\frac{-125}{13 \\sqrt{674}} - \\frac{84}{13 \\sqrt{674}}$
$= \\frac{-209}{13 \\sqrt{674}} = \\frac{-209 \\sqrt{674}}{8762}$.

Kasus 3: x di kuadran I, y di kuadran II
Jika y di kuadran II, $\\sin y = \\frac{7}{\\sqrt{674}}$ dan $\\cos y = -\\frac{25}{\\sqrt{674}}$.
$\\cos(x+y) = \\left(rac{5}{13}\right) \\left(-rac{25}{\\sqrt{674}}\right) - \\left(rac{12}{13}
ight) \\left(rac{7}{\\sqrt{674}}
ight)$
$= \\frac{-125}{13 \\sqrt{674}} - \\frac{84}{13 \\sqrt{674}}$
$= \\frac{-209}{13 \\sqrt{674}} = \\frac{-209 \\sqrt{674}}{8762}$.

Kasus 4: x di kuadran II, y di kuadran II
Jika x di kuadran II dan y di kuadran II:
$\\cos(x+y) = \\left(-rac{5}{13}\right) \\left(-rac{25}{\\sqrt{674}}
ight) - \\left(rac{12}{13}
ight) \\left(rac{7}{\\sqrt{674}}
ight)$
$= \\frac{125}{13 \\sqrt{674}} - \\frac{84}{13 \\sqrt{674}}$
$= \\frac{41}{13 \\sqrt{674}} = \\frac{41 \\sqrt{674}}{8762}$.

Karena soal tidak menentukan kuadran untuk x dan y, ada dua kemungkinan nilai untuk $\\cos(x+y)$ tergantung pada kuadran sudut-sudut tersebut. Namun, jika diasumsikan x dan y adalah sudut lancip (kuadran I):
$\\cos x = 5/13$, $\\sin x = 12/13$.
$\\cos y = 25/\\sqrt{674}$, $\\sin y = 7/\\sqrt{674}$.
$\\cos(x+y) = (5/13)(25/\\sqrt{674}) - (12/13)(7/\\sqrt{674}) = (125 - 84) / (13 \\sqrt{674}) = 41 / (13 \\sqrt{674}) = 41 \\sqrt{674} / 8762$.