Diberikan titik A(6,4,7), B(2,-4,3) , dan P(-1,4,2) titik R

Panjang vektor PR adalah sqrt(56).

Pembahasan

Untuk mencari panjang vektor PR, kita perlu menentukan koordinat titik R terlebih dahulu. Diketahui bahwa titik R terletak pada garis AB dengan perbandingan AR:RB = 3:1. Ini berarti vektor AR adalah 3/4 dari vektor AB.

Vektor AB dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B: 
AB = B - A = (2-6, -4-4, 3-7) = (-4, -8, -4)

Selanjutnya, kita dapat menemukan vektor AR dengan mengalikan vektor AB dengan 3/4:
AR = (3/4) * AB = (3/4) * (-4, -8, -4) = (-3, -6, -3)

Untuk menemukan koordinat titik R, kita tambahkan vektor AR ke koordinat titik A:
R = A + AR = (6, 4, 7) + (-3, -6, -3) = (3, -2, 4)

Sekarang kita memiliki koordinat titik R(3, -2, 4) dan titik P(-1, 4, 2). Kita dapat menghitung vektor PR:
PR = R - P = (3 - (-1), -2 - 4, 4 - 2) = (4, -6, 2)

Terakhir, kita hitung panjang vektor PR menggunakan rumus jarak Euclidean:
Panjang PR = sqrt((4)^2 + (-6)^2 + (2)^2) = sqrt(16 + 36 + 4) = sqrt(56)

Jadi, panjang vektor PR adalah akar dari 56.