Diberikan vektor a=(4 3) dan b=(-1 3). Proyeksi vektor

Proyeksi vektor ortogonal dari a pada b adalah (-1/2, 3/2).

Pembahasan

Proyeksi vektor ortogonal dari vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) dirumuskan sebagai:
$$ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\| ^2} \vec{b} $$ 

Diketahui vektor \(\vec{a} = (4, 3)\) dan \(\vec{b} = (-1, 3)\).

Langkah 1: Hitung hasil kali titik (dot product) \(\vec{a} \cdot \vec{b}\).
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(-1) + (3)(3) = -4 + 9 = 5

Langkah 2: Hitung kuadrat dari panjang vektor \(\vec{b}\), yaitu \(\|\vec{b}\| ^2\).
\(\|\vec{b}\| ^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10

Langkah 3: Masukkan hasil ke dalam rumus proyeksi.
$$ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{5}{10} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{b} $$ 

Langkah 4: Kalikan skalar \(\frac{1}{2}\) dengan vektor \(\vec{b}\).
$$ \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} (-1, 3) = \left( \frac{1}{2} \times -1, \frac{1}{2} \times 3 \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $$ 

Jadi, proyeksi vektor ortogonal dari vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) adalah \(\left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)\).