Diketahui 5log2=a dan 5log3=b. Nilai dari 30log12= . . . .

\frac{2a + b}{1 + a + b}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma. Diketahui:
$^5\log 2 = a$
$^5\log 3 = b$

Kita ingin mencari nilai dari $^{30}\log 12.

Langkah 1: Ubah basis logaritma menggunakan sifat perubahan basis. Sifat perubahan basis menyatakan bahwa $^x\log y = \frac{^z\log y}{^z\log x}$. Kita akan mengubah basis 30 menjadi basis 5, karena informasi yang diberikan menggunakan basis 5.

$^{30}\log 12 = \frac{^5\log 12}{^5\log 30}$

Langkah 2: Faktorkan angka 12 dan 30 menjadi basis yang diketahui (2, 3, dan 5).
12 = 4 * 3 = 2^2 * 3
30 = 5 * 6 = 5 * 2 * 3

Langkah 3: Substitusikan faktorisasi ke dalam persamaan logaritma.
$^5\log 12 = ^5\log (2^2 \cdot 3)$
Menggunakan sifat logaritma $^x\log (y \cdot z) = ^x\log y + ^x\log z$ dan $^x\log (y^z) = z \cdot ^x\log y$:
$^5\log 12 = ^5\log (2^2) + ^5\log 3$
$^5\log 12 = 2 \cdot ^5\log 2 + ^5\log 3$
Substitusikan nilai a dan b:
$^5\log 12 = 2a + b$

Sekarang, hitung penyebutnya:
$^5\log 30 = ^5\log (5 \cdot 2 \cdot 3)$
$^5\log 30 = ^5\log 5 + ^5\log 2 + ^5\log 3$
Kita tahu bahwa $^x\log x = 1$, jadi $^5\log 5 = 1$.
$^5\log 30 = 1 + a + b$

Langkah 4: Substitusikan hasil dari Langkah 3 kembali ke persamaan perubahan basis.
$^{30}\log 12 = \frac{^5\log 12}{^5\log 30} = \frac{2a + b}{1 + a + b}$

Jadi, nilai dari $^{30}\log 12 adalah $\frac{2a + b}{1 + a + b}$.