Diketahui A=(1 2 3 4) dan I =(1 0 0 1). Jika berlaku A^2 =

p=5, q=2, maka p-q=3

Pembahasan

Diberikan matriks A = [[1, 2], [3, 4]] dan I = [[1, 0], [0, 1]]. Kita perlu mencari nilai p dan q sehingga berlaku A^2 = pA + qI.

Pertama, kita hitung A^2:
A^2 = A * A = [[1, 2], [3, 4]] * [[1, 2], [3, 4]]
A^2 = [[(1*1)+(2*3), (1*2)+(2*4)], [(3*1)+(4*3), (3*2)+(4*4)]]
A^2 = [[1+6, 2+8], [3+12, 6+16]]
A^2 = [[7, 10], [15, 22]]

Selanjutnya, kita hitung pA + qI:
pA + qI = p * [[1, 2], [3, 4]] + q * [[1, 0], [0, 1]]
pA + qI = [[p, 2p], [3p, 4p]] + [[q, 0], [0, q]]
pA + qI = [[p+q, 2p], [3p, 4p+q]]

Sekarang, kita samakan A^2 dengan pA + qI:
[[7, 10], [15, 22]] = [[p+q, 2p], [3p, 4p+q]]

Dari kesamaan elemen matriks, kita dapatkan:
1. 7 = p + q
2. 10 = 2p  => p = 5
3. 15 = 3p  => p = 5
4. 22 = 4p + q

Menggunakan nilai p = 5 dari persamaan (2) atau (3), kita substitusikan ke persamaan (1):
7 = 5 + q
q = 7 - 5
q = 2

Untuk memastikan, kita cek dengan persamaan (4):
22 = 4*(5) + 2
22 = 20 + 2
22 = 22 (Benar)

Jadi, nilai p = 5 dan q = 2.

Yang ditanyakan adalah nilai dari p - q:
p - q = 5 - 2 = 3.