Diketahui A dan B sudut-sudut lancip dalam sebuah segitiga

Nilai sin A = 3/2 tidak mungkin untuk sudut lancip. Jika diasumsikan sin A = 2/3, maka cos C = (2√5 - 10)/15.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cos C, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan sifat sudut dalam segitiga.

Diketahui:
*   Segitiga ABC dengan sudut lancip A dan B.
*   $\sin A = \frac{3}{2}$
*   $\tan B = \frac{1}{2}$

Langkah-langkah penyelesaian:

1.  **Analisis nilai sin A:**
    Diketahui $\sin A = \frac{3}{2}$. Nilai sinus suatu sudut lancip (antara 0 dan 90 derajat) seharusnya berada di antara 0 dan 1. Nilai $\frac{3}{2}$ (atau 1.5) lebih besar dari 1. Ini berarti informasi yang diberikan untuk $\sin A$ tidak mungkin benar untuk sudut lancip dalam segitiga siku-siku atau segitiga biasa.

    *Kemungkinan Kesalahan Input:* Ada kemungkinan terjadi kesalahan pengetikan pada soal, misalnya $\sin A$ seharusnya adalah $\frac{2}{3}$ atau $\cos A$ yang nilainya demikian.

    *Asumsi Perbaikan:* Jika kita mengasumsikan $\sin A = \frac{2}{3}$ (nilai yang valid untuk sudut lancip):
    Kita dapat mencari $\cos A$ menggunakan identitas $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
    $(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 A = 1$
    $\,\frac{4}{9} + \cos^2 A = 1$
    $\,\cos^2 A = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
    Karena A sudut lancip, $\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

2.  **Cari nilai sin B dan cos B dari tan B:**
    Diketahui $\tan B = \frac{1}{2}$. Kita bisa membayangkan segitiga siku-siku dengan sisi depan 1 dan sisi samping 2. Sisi miringnya adalah $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
    Maka, $\sin B = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
    Dan $\cos B = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
    Karena B sudut lancip, nilai $\sin B$ dan $\cos B$ positif.

3.  **Tentukan cos C menggunakan sifat sudut segitiga:**
    Dalam segitiga ABC, $A + B + C = 180^{\circ}$.
Maka, $C = 180^{\circ} - (A + B)$.
$\,\cos C = \cos (180^{\circ} - (A + B)) = -\cos(A + B)$.

    Gunakan rumus penjumlahan kosinus: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
    Menggunakan nilai $\sin A = \frac{2}{3}$, $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin B = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$:
    $\,\cos(A + B) = (\frac{\sqrt{5}}{3}) (\frac{2\sqrt{5}}{5}) - (\frac{2}{3}) (\frac{\sqrt{5}}{5})$
    $\,\cos(A + B) = \frac{2 \cdot 5}{15} - \frac{2\sqrt{5}}{15}$
    $\,\cos(A + B) = \frac{10}{15} - \frac{2\sqrt{5}}{15}$
    $\,\cos(A + B) = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{15}$

    Maka, $\cos C = -\cos(A + B) = -\frac{10 - 2\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5} - 10}{15}$.

    *Kesimpulan:* Berdasarkan data soal yang diberikan ($\sin A = 3/2$), soal ini tidak memiliki solusi karena $\sin A$ tidak mungkin bernilai lebih dari 1 untuk sudut lancip. Jika diasumsikan ada kesalahan pada soal dan $\sin A = 2/3$, maka $\cos C = \frac{2\sqrt{5} - 10}{15}$