Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 5 akar(2). Jarak

5

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 5$\sqrt{2}$. Kita perlu mencari jarak garis HF dengan bidang BDG. 

Pertama, kita perlu menentukan vektor-vektor yang membentuk bidang BDG dan garis HF. 
Misalkan titik B berada di (0,0,0). Maka:
B = (0,0,0)
D = (5$\( \sqrt{2} \)$, 5$\( \sqrt{2} \)$, 0)
G = (5$\( \sqrt{2} \)$, 5$\( \sqrt{2} \)$, h) (dengan h adalah tinggi balok, yang tidak diketahui tetapi akan saling meniadakan dalam perhitungan jarak)
H = (0, 5$\( \sqrt{2} \)$, h)

Kita perlu vektor normal untuk bidang BDG. Vektor $\vec{BD} = D - B = (5
 \sqrt{2}, 5
 \sqrt{2}, 0)$ dan $\vec{BG} = G - B = (5
 \sqrt{2}, 5
 \sqrt{2}, h)$.

$\|\vec{BD}\| = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{50+50} = \sqrt{100} = 10$.
$\|\vec{BG}\| = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{100 + h^2}$.

Jarak garis ke bidang adalah jarak dari salah satu titik pada garis ke bidang. Kita ambil titik H. 

H = (0, 5$\( \sqrt{2} \)$, h)
F = (5$\( \sqrt{2} \)$, 5$\( \sqrt{2} \)$, h)

Garis HF ditentukan oleh vektor $\vec{HF} = F - H = (5
 \sqrt{2}, 0, 0)$.

Untuk mencari jarak dari titik H ke bidang BDG, kita perlu vektor normal bidang BDG. Vektor normal $n = \vec{BD} 	imes \vec{BG}$.
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 5\sqrt{2} & 5\sqrt{2} & 0 \\ 5\sqrt{2} & 5\sqrt{2} & h \end{vmatrix} = i(5\sqrt{2}h - 0) - j(5\sqrt{2}h - 0) + k(25(2) - 25(2)) = (5
 \sqrt{2}h, -5
 \sqrt{2}h, 0)$

Jarak dari titik $H(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah $\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
Persamaan bidang BDG yang melalui B(0,0,0) dengan normal $n = (5
 \sqrt{2}h, -5
 \sqrt{2}h, 0)$ adalah $5
 \sqrt{2}hx - 5
 \sqrt{2}hy = 0$, atau $x - y = 0$.

Jarak dari H(0, 5$\( \sqrt{2} \)$, h) ke bidang $x - y = 0$ adalah:
$$ \frac{|1(0) - 1(5
 \sqrt{2}) + 0(h)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|-5
 \sqrt{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{5
 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 $$ 

Jarak garis HF ke bidang BDG sama dengan jarak titik H ke bidang BDG karena garis HF sejajar dengan bidang BDG (vektor HF = (5$\( \sqrt{2} \)$, 0, 0) tidak memiliki komponen dalam arah normal bidang BDG yang tegak lurus terhadap sumbu z).