Kelas 12Kelas 11mathGeometri Ruang
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 6akar(2) dan BF
Pertanyaan
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 6√2 cm dan BF = 10 cm. Berapakah jarak garis HF dengan bidang BDE?
Solusi
Verified
Jarak garis HF dengan bidang BDE adalah (15√34) / 17 cm.
Pembahasan
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 6√2 cm dan BF = 10 cm. Kita perlu mencari jarak garis HF dengan bidang BDE. 1. **Identifikasi Geometri:** Balok ABCD.EFGH memiliki alas persegi ABCD dan sisi tegak persegi panjang ABFE. Titik H berada di atas D, dan F berada di atas B. * Panjang rusuk alas (AB, BC, CD, DA) = 6√2 cm. * Tinggi balok (AE, BF, CG, DH) = 10 cm. 2. **Koordinat Titik:** Untuk memudahkan perhitungan, kita bisa menetapkan koordinat: * B = (0, 0, 0) * D = (6√2, 6√2, 0) * E = (0, 0, 10) * H = (6√2, 6√2, 10) 3. **Vektor Bidang BDE:** * Vektor BD = D - B = (6√2, 6√2, 0) * Vektor BE = E - B = (0, 0, 10) * Untuk mencari vektor normal bidang BDE, kita cari hasil kali silang BD x BE: BD x BE = | i j k | | 6√2 6√2 0 | | 0 0 10 | = i(6√2 * 10 - 0 * 0) - j(6√2 * 10 - 0 * 0) + k(6√2 * 0 - 6√2 * 0) = 60√2 i - 60√2 j + 0 k = (60√2, -60√2, 0) * Kita bisa sederhanakan vektor normal n = (1, -1, 0). 4. **Persamaan Bidang BDE:** Persamaan bidang adalah n . (x - x0, y - y0, z - z0) = 0 Menggunakan titik B(0,0,0) dan normal n=(1, -1, 0): 1(x - 0) - 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0 x - y = 0 5. **Jarak Garis HF ke Bidang BDE:** Garis HF dibentuk oleh titik H(6√2, 6√2, 10) dan vektor arah HF = F - H. F = (0, 0, 10) HF = (0 - 6√2, 0 - 6√2, 10 - 10) = (-6√2, -6√2, 0). Karena garis HF sejajar dengan bidang BDE (keduanya tegak lurus terhadap arah tertentu yang memiliki komponen z=0, atau bisa dilihat dari vektor arahnya (-6√2, -6√2, 0) yang tegak lurus dengan normal bidang (1, -1, 0) karena hasil kali titiknya adalah -6√2 * 1 + (-6√2) * (-1) + 0 * 0 = -6√2 + 6√2 = 0), jaraknya adalah jarak dari salah satu titik di garis HF (misalnya H) ke bidang BDE. Rumus jarak titik (x1, y1, z1) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah: Jarak = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) Titik H = (6√2, 6√2, 10) Bidang BDE: x - y = 0 (A=1, B=-1, C=0, D=0) Jarak = |1*(6√2) + (-1)*(6√2) + 0*(10) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) Jarak = |6√2 - 6√2 + 0| / sqrt(1 + 1 + 0) Jarak = |0| / sqrt(2) Jarak = 0 *Revisi Perhitungan* Mari kita cek kembali apakah garis HF sejajar dengan bidang BDE. Vektor arah HF adalah (-6√2, -6√2, 0). Vektor normal bidang BDE adalah (60√2, -60√2, 0). Hasil kali titik keduanya adalah: (-6√2)(60√2) + (-6√2)(-60√2) + (0)(0) = -720 + 720 + 0 = 0. Ya, garis HF sejajar dengan bidang BDE. Ada kemungkinan saya salah dalam menentukan koordinat atau vektor normalnya. Mari kita gunakan pendekatan lain. **Pendekatan Geometri:** Garis HF adalah diagonal ruang. Bidang BDE adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal alas BD dan rusuk tegak BE. Kita perlu mencari jarak dari garis HF ke bidang BDE. Pertimbangkan segitiga siku-siku BDH pada bidang BDHF. BD = √( (6√2)² + (6√2)² ) = √(72 + 72) = √144 = 12 cm. DH = 10 cm. Maka BH = √(BD² + DH²) = √(12² + 10²) = √(144 + 100) = √244 = 2√61 cm. HF juga merupakan diagonal, HF = BD = 12 cm. Bidang BDE dibentuk oleh vektor BD dan BE. Vektor normal ke bidang BDE dapat dicari dengan BD x BE. BD = (6√2, 6√2, 0) BE = (0, 0, 10) BD x BE = (60√2, -60√2, 0). Normal n = (1, -1, 0). Garis HF dimulai dari H = (6√2, 6√2, 10) dan memiliki arah vektor HF = F - H = (0, 0, 10) - (6√2, 6√2, 10) = (-6√2, -6√2, 0). Vektor HF = -√2 * (6, 6, 0). Jarak antara garis yang melalui titik P dengan vektor arah v, dan bidang dengan normal n dan melewati titik Q adalah: Jarak = | (P-Q) . n | / |n| Di sini, P = H = (6√2, 6√2, 10). Vektor arah v = HF = (-6√2, -6√2, 0). Bidang BDE melewati Q = B = (0, 0, 0) dan memiliki normal n = (1, -1, 0). P - Q = H - B = (6√2, 6√2, 10). (P - Q) . n = (6√2, 6√2, 10) . (1, -1, 0) = (6√2)(1) + (6√2)(-1) + (10)(0) = 6√2 - 6√2 + 0 = 0. |n| = sqrt(1² + (-1)² + 0²) = √2. Jarak = |0| / √2 = 0. Ada kesalahan fundamental dalam pemahaman soal atau perhitungan. Mari kita ulangi identifikasi bidang dan garis. Balok ABCD.EFGH. AB = BC = 6√2. BF = 10. Garis HF. Bidang BDE. Kita perlu mencari jarak dari titik H ke bidang BDE, karena garis HF sejajar dengan bidang BDE. Vektor arah BD = (6√2, 6√2, 0). Vektor arah BE = (0, 0, 10). Normal bidang BDE = BD x BE = (60√2, -60√2, 0). Normal disederhanakan n = (1, -1, 0). Persamaan bidang BDE (melalui B=(0,0,0)): x - y = 0. Titik H = (6√2, 6√2, 10). Jarak H ke bidang x - y = 0 adalah: Jarak = |(6√2) - (6√2)| / √(1² + (-1)²) = 0 / √2 = 0. Ini masih menghasilkan 0, yang berarti titik H berada pada bidang BDE, yang tidak mungkin. Kemungkinan ada kesalahan dalam penentuan koordinat atau vektor normal. Mari kita gunakan sistem koordinat yang berbeda: D = (0, 0, 0) A = (6√2, 0, 0) C = (0, 6√2, 0) B = (6√2, 6√2, 0) H = (0, 0, 10) E = (6√2, 0, 10) F = (6√2, 6√2, 10) Bidang BDE: B = (6√2, 6√2, 0) D = (0, 0, 0) E = (6√2, 0, 10) Vektor DB = B - D = (6√2, 6√2, 0) Vektor DE = E - D = (6√2, 0, 10) Normal n = DB x DE: n = | i j k | | 6√2 6√2 0 | | 6√2 0 10 | = i(6√2 * 10 - 0) - j(6√2 * 10 - 0) + k(0 - 6√2 * 6√2) = 60√2 i - 60√2 j - 72 k Normal disederhanakan: n = (5√2, -5√2, -6) Persamaan bidang BDE (melalui D=(0,0,0)): 5√2 x - 5√2 y - 6z = 0 Garis HF: H = (0, 0, 10) F = (6√2, 6√2, 10) Vektor arah HF = F - H = (6√2, 6√2, 0). Kita perlu mencari jarak dari titik H ke bidang BDE. Titik H = (0, 0, 10). Bidang BDE: 5√2 x - 5√2 y - 6z = 0. Jarak = |(5√2)(0) - (5√2)(0) - 6(10)| / √( (5√2)² + (-5√2)² + (-6)² ) Jarak = |-60| / √( (50) + (50) + 36 ) Jarak = 60 / √(136) Jarak = 60 / √(4 * 34) Jarak = 60 / (2√34) Jarak = 30 / √34 Jarak = (30√34) / 34 Jarak = (15√34) / 17 Perhitungan ini tampak lebih masuk akal. Mari kita verifikasi dengan mencari jarak dari titik F ke bidang BDE. Titik F = (6√2, 6√2, 10). Jarak = |(5√2)(6√2) - (5√2)(6√2) - 6(10)| / √(136) Jarak = |30*2 - 30*2 - 60| / √136 Jarak = |-60| / √136 = 60 / √136 = (15√34) / 17. Karena jarak dari H ke bidang sama dengan jarak dari F ke bidang, dan garis HF sejajar dengan bidang BDE, maka jarak garis HF ke bidang BDE adalah jarak dari salah satu titik (H atau F) ke bidang tersebut. Jarak garis HF dengan bidang BDE = (15√34) / 17 cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Jarak Titik Ke Bidang, Vektor
Section: Jarak Garis Ke Bidang
Apakah jawaban ini membantu?