Diketahui balok ABCD EFGH dengan panjang AB = 15 cm, BC = 9

Jarak garis AE ke bidang BFMN adalah 15 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis AE ke bidang BFMN pada balok ABCD.EFGH dengan AB = 15 cm, BC = 9 cm, dan CG = 12 cm, di mana titik M berada di ruas garis EH dengan perbandingan EM : MH = 2 : 1, dan titik N berada di ruas garis AD dengan perbandingan AN : AD = 2 : 3, kita perlu memahami konsep jarak antara garis dan bidang dalam ruang.

Bidang BFMN sejajar dengan bidang AEHD. Jarak antara garis AE dan bidang BFMN sama dengan jarak antara titik A (atau E) ke bidang BFMN, karena garis AE tegak lurus terhadap bidang ABCD (dan juga BFMN karena BF sejajar AE dan BC sejajar AD).

Karena bidang BFMN sejajar dengan bidang AEHD, maka jarak antara garis AE (yang terletak pada bidang AEHD) ke bidang BFMN sama dengan jarak antara kedua bidang sejajar tersebut.

Jarak antara bidang AEHD dan bidang BFMN adalah panjang rusuk AB (atau EF, atau CD, atau GH) yang tegak lurus terhadap kedua bidang tersebut. Dalam kasus ini, panjang AB = 15 cm.

Namun, soal ini juga menyertakan informasi mengenai posisi titik M dan N. Mari kita periksa kembali apakah informasi ini relevan. Titik M berada di EH dengan EM:MH = 2:1, dan N di AD dengan AN:AD = 2:3. Bidang BFMN dibentuk oleh titik B, F, M, dan N.

Jika kita melihat proyeksi balok pada bidang ADHE, garis AE adalah salah satu rusuknya. Bidang BFMN memotong rusuk EH di M dan rusuk AD di N. Bidang BFMN sejajar dengan rusuk AE dan BF.

Jarak garis AE ke bidang BFMN adalah jarak dari setiap titik pada garis AE ke bidang BFMN. Karena AE sejajar dengan BF, dan BF terletak pada bidang BFMN, maka jarak dari setiap titik pada AE ke bidang BFMN adalah sama.

Mari kita ambil titik A. Jarak dari A ke bidang BFMN adalah jarak dari A ke garis yang merupakan perpotongan bidang BFMN dengan bidang ABCD. Perpotongan ini adalah garis BF. Jarak dari A ke garis BF adalah panjang AB, yaitu 15 cm.

Mari kita ambil titik E. Jarak dari E ke bidang BFMN adalah jarak dari E ke garis yang merupakan perpotongan bidang BFMN dengan bidang EFGH. Perpotongan ini adalah garis FM. Jarak dari E ke garis FM adalah panjang EF, yaitu 15 cm.

Perlu diperhatikan bahwa bidang BFMN tidak sejajar dengan bidang ABCD atau EFGH. Bidang BFMN sejajar dengan bidang AEHD jika M dan N adalah titik tengah dari EH dan AD. Namun, di sini M dan N membagi ruas garis dengan perbandingan tertentu.

Sebenarnya, jarak garis AE ke bidang BFMN adalah jarak dari A ke bidang BFMN, atau dari E ke bidang BFMN. Garis AE sejajar dengan BF. Bidang BFMN dibentuk oleh garis BF, BN, NM, dan MF.

Karena AE sejajar dengan BF, dan BF merupakan bagian dari bidang BFMN, maka jarak garis AE ke bidang BFMN sama dengan jarak dari titik A ke bidang BFMN. Jarak ini dapat dihitung sebagai panjang proyeksi vektor dari A ke sebuah titik di bidang BFMN (misalnya B) ke vektor normal bidang BFMN.

Namun, ada cara yang lebih sederhana. Jika kita perhatikan bahwa garis AE sejajar dengan bidang BFMN (karena AE sejajar BF, dan BF terletak pada bidang BFMN), maka jarak garis AE ke bidang BFMN adalah jarak dari sembarang titik pada AE ke bidang BFMN. Mari kita ambil titik A. Jarak dari A ke bidang BFMN adalah jarak dari A ke garis perpotongan bidang BFMN dengan bidang ABCD, yaitu garis BF. Jarak ini adalah panjang AB = 15 cm.

Sebaliknya, jika kita ambil titik E, jarak dari E ke bidang BFMN adalah jarak dari E ke garis perpotongan bidang BFMN dengan bidang EFGH, yaitu garis FM. Jarak ini adalah panjang EF = 15 cm.

Informasi tentang posisi M dan N (EM:MH = 2:1 dan AN:AD = 2:3) akan relevan jika kita perlu mencari jarak antara dua bidang sejajar yang dibentuk oleh titik-titik tersebut, atau jika kita perlu mencari jarak dari titik ke bidang yang tidak sejajar. Namun, dalam kasus ini, garis AE sejajar dengan bidang BFMN.

Jadi, jarak garis AE ke bidang BFMN adalah sama dengan jarak dari titik A ke bidang BFMN. Jarak ini sama dengan panjang rusuk AB atau EF, yaitu 15 cm.