Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathGeometri

Diketahui bangun O.ABC dengan ketiga sudut di O

Pertanyaan

Diketahui bangun OABC dengan ketiga sudut di O masing-masing sebesar 90° dan OA = OB = OC = 5 cm. Titik P terletak di tengah rusuk BC. Tentukan nilai kosinus dari sudut antara garis OP dengan AP.

Solusi

Verified

Nilai kosinus sudut antara garis OP dan AP adalah √3 / 3.

Pembahasan

Diketahui bangun OABC adalah sebuah limas segitiga siku-siku di O, dengan OA = OB = OC = 5 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk BC. Kita perlu mencari kosinus sudut antara garis OP dan AP. 1. **Menentukan Vektor Posisi Titik-titik**: Misalkan O sebagai titik asal (0,0,0). Karena OA, OB, OC saling tegak lurus dan sama panjang (5 cm): A = (5, 0, 0) B = (0, 5, 0) C = (0, 0, 5) 2. **Menentukan Koordinat Titik P**: P adalah titik tengah BC. Koordinat P = ((Bx + Cx)/2, (By + Cy)/2, (Bz + Cz)/2) P = ((0+0)/2, (5+0)/2, (0+5)/2) P = (0, 5/2, 5/2) 3. **Menentukan Vektor OP dan AP**: Vektor OP = P - O = (0, 5/2, 5/2) Vektor AP = P - A = (0 - 5, 5/2 - 0, 5/2 - 0) = (-5, 5/2, 5/2) 4. **Menghitung Kosinus Sudut antara OP dan AP**: Rumus kosinus sudut (θ) antara dua vektor adalah: cos θ = (OP · AP) / (|OP| * |AP|) * **Hasil kali titik (Dot Product) OP · AP**: OP · AP = (0 * -5) + (5/2 * 5/2) + (5/2 * 5/2) OP · AP = 0 + 25/4 + 25/4 OP · AP = 50/4 = 25/2 * **Besar Vektor |OP|**: |OP| = √(0² + (5/2)² + (5/2)²) |OP| = √(0 + 25/4 + 25/4) |OP| = √(50/4) = √(25*2/4) = (5√2)/2 * **Besar Vektor |AP|**: |AP| = √((-5)² + (5/2)² + (5/2)²) |AP| = √(25 + 25/4 + 25/4) |AP| = √(100/4 + 25/4 + 25/4) |AP| = √(150/4) = √(25*6/4) = (5√6)/2 * **Menghitung cos θ**: cos θ = (25/2) / [((5√2)/2) * ((5√6)/2)] cos θ = (25/2) / [(25√12)/4] cos θ = (25/2) / [(25 * 2√3)/4] cos θ = (25/2) / [(50√3)/4] cos θ = (25/2) * (4 / (50√3)) cos θ = 100 / (100√3) cos θ = 1 / √3 cos θ = √3 / 3 Hasil nilai kosinus dari sudut antara garis OP dengan AP adalah √3 / 3.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Trigonometri Dalam Ruang
Section: Vektor Dan Sudut Antar Vektor

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...