Diketahui bangun O.ABC dengan ketiga sudut di O

Nilai kosinus sudut antara garis OP dan AP adalah √3 / 3.

Pembahasan

Diketahui bangun OABC adalah sebuah limas segitiga siku-siku di O, dengan OA = OB = OC = 5 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk BC.

Kita perlu mencari kosinus sudut antara garis OP dan AP.

1.  **Menentukan Vektor Posisi Titik-titik**:
    Misalkan O sebagai titik asal (0,0,0).
    Karena OA, OB, OC saling tegak lurus dan sama panjang (5 cm):
A = (5, 0, 0)
B = (0, 5, 0)
C = (0, 0, 5)

2.  **Menentukan Koordinat Titik P**:
P adalah titik tengah BC.
Koordinat P = ((Bx + Cx)/2, (By + Cy)/2, (Bz + Cz)/2)
P = ((0+0)/2, (5+0)/2, (0+5)/2)
P = (0, 5/2, 5/2)

3.  **Menentukan Vektor OP dan AP**:
Vektor OP = P - O = (0, 5/2, 5/2)
Vektor AP = P - A = (0 - 5, 5/2 - 0, 5/2 - 0) = (-5, 5/2, 5/2)

4.  **Menghitung Kosinus Sudut antara OP dan AP**:
    Rumus kosinus sudut (θ) antara dua vektor adalah:
    cos θ = (OP · AP) / (|OP| * |AP|)

    *   **Hasil kali titik (Dot Product) OP · AP**:
        OP · AP = (0 * -5) + (5/2 * 5/2) + (5/2 * 5/2)
        OP · AP = 0 + 25/4 + 25/4
        OP · AP = 50/4 = 25/2

    *   **Besar Vektor |OP|**:
        |OP| = √(0² + (5/2)² + (5/2)²)
        |OP| = √(0 + 25/4 + 25/4)
        |OP| = √(50/4) = √(25*2/4) = (5√2)/2

    *   **Besar Vektor |AP|**:
        |AP| = √((-5)² + (5/2)² + (5/2)²)
        |AP| = √(25 + 25/4 + 25/4)
        |AP| = √(100/4 + 25/4 + 25/4)
        |AP| = √(150/4) = √(25*6/4) = (5√6)/2

    *   **Menghitung cos θ**:
        cos θ = (25/2) / [((5√2)/2) * ((5√6)/2)]
        cos θ = (25/2) / [(25√12)/4]
        cos θ = (25/2) / [(25 * 2√3)/4]
        cos θ = (25/2) / [(50√3)/4]
        cos θ = (25/2) * (4 / (50√3))
        cos θ = 100 / (100√3)
        cos θ = 1 / √3
        cos θ = √3 / 3

Hasil nilai kosinus dari sudut antara garis OP dengan AP adalah √3 / 3.