Diketahui bangun PQRS merupakan bangun persegi panjang.

16.5

Pembahasan

Diketahui bangun PQRS adalah persegi panjang dengan PQ = 6 dan QR = 5.
Titik T terletak di luar persegi panjang sehingga segitiga PTQ adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan sudut PTQ = 90 derajat.
Ini berarti PT = TQ.

Dalam segitiga siku-siku PTQ, dengan siku-siku di T, berlaku teorema Pythagoras:
PT² + TQ² = PQ²
Karena PT = TQ, maka:
PT² + PT² = 6²
2PT² = 36
PT² = 18
PT = √18 = 3√2

Jadi, PT = TQ = 3√2.

Kita perlu mencari luas segitiga PTR.
Luas segitiga PTR = 1/2 * alas * tinggi.
Kita bisa mengambil PR sebagai alas atau menggunakan koordinat.

Mari kita gunakan pendekatan koordinat.
Misalkan P = (0, 5), Q = (6, 5), R = (6, 0), S = (0, 0).

Karena T terletak di luar persegi panjang dan PT = TQ = 3√2, dan sudut PTQ = 90 derajat, maka T adalah titik yang berjarak sama dari P dan Q, dan membentuk sudut siku-siku.
Titik tengah PQ adalah ((0+6)/2, (5+5)/2) = (3, 5).

Karena segitiga PTQ sama kaki, T akan berada pada garis yang tegak lurus dengan PQ dan melalui titik tengah PQ.
Garis PQ horizontal (y=5). Garis tegak lurusnya vertikal (x=3).

Jarak PT = 3√2. Misalkan T = (3, y_T).
Jarak PT = √((3-0)² + (y_T-5)²)
(3√2)² = 3² + (y_T-5)²
18 = 9 + (y_T-5)²
9 = (y_T-5)²
y_T - 5 = ±3

Jika y_T - 5 = 3, maka y_T = 8. T = (3, 8).
Jika y_T - 5 = -3, maka y_T = 2. T = (3, 2).

Karena T terletak di luar persegi panjang, dan persegi panjang berada antara y=0 dan y=5, maka T=(3, 8) atau T=(3, 2).
Namun, jika T=(3,2), maka T berada di dalam atau pada batas persegi panjang jika lebar PQRS adalah 5. Jika QR=5, maka tinggi persegi panjang adalah 5. Persegipanjang membentang dari y=0 sampai y=5 (jika S di (0,0)). Dalam kasus ini T=(3,2) akan berada di dalam. Jadi kita ambil T=(3,8).

Sekarang kita hitung luas segitiga PTR dengan P=(0, 5), T=(3, 8), R=(6, 0).

Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga dengan koordinat:
Luas = 1/2 |x_P(y_T - y_R) + x_T(y_R - y_P) + x_R(y_P - y_T)|
Luas = 1/2 |0(8 - 0) + 3(0 - 5) + 6(5 - 8)|
Luas = 1/2 |0 + 3(-5) + 6(-3)|
Luas = 1/2 |0 - 15 - 18|
Luas = 1/2 |-33|
Luas = 33/2 = 16.5

Alternatif lain: Gunakan alas PR dan cari tingginya.
Panjang PR = √( (6-0)² + (0-5)² ) = √(36 + 25) = √61.

Persamaan garis PR: m = (0-5)/(6-0) = -5/6.
Persamaan garis PR: y - 0 = -5/6 (x - 6) => y = -5/6 x + 5 => 5x + 6y - 30 = 0.

Jarak dari T(3, 8) ke garis 5x + 6y - 30 = 0 adalah tinggi segitiga PTR:
Tinggi = |5(3) + 6(8) - 30| / √(5² + 6²)
Tinggi = |15 + 48 - 30| / √(25 + 36)
Tinggi = |33| / √61
Tinggi = 33/√61

Luas segitiga PTR = 1/2 * alas * tinggi
Luas = 1/2 * √61 * (33/√61)
Luas = 1/2 * 33
Luas = 16.5