Diketahui d F(x)/dx=ax+b. Jika F(-1)=5, F(1)=3, dan

Nilai F(2) adalah 5.

Pembahasan

Diketahui turunan pertama dari fungsi F(x) adalah dF(x)/dx = ax + b. Ini berarti F(x) adalah hasil integral dari ax + b terhadap x.
F(x) = ∫(ax + b) dx
F(x) = (a/2)x^2 + bx + C, di mana C adalah konstanta integrasi.

Kita diberikan tiga kondisi:
1. F(-1) = 5
2. F(1) = 3
3. F(4) = 15

Mari kita substitusikan nilai-nilai x ke dalam F(x) untuk mendapatkan tiga persamaan:
1. F(-1) = (a/2)(-1)^2 + b(-1) + C = a/2 - b + C = 5
2. F(1) = (a/2)(1)^2 + b(1) + C = a/2 + b + C = 3
3. F(4) = (a/2)(4)^2 + b(4) + C = (a/2)(16) + 4b + C = 8a + 4b + C = 15

Sekarang kita memiliki sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (a, b, C):
(I)   a/2 - b + C = 5
(II)  a/2 + b + C = 3
(III) 8a + 4b + C = 15

Untuk mencari nilai a, b, dan C, kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Kurangkan persamaan (I) dari persamaan (II):
(a/2 + b + C) - (a/2 - b + C) = 3 - 5
2b = -2
b = -1

Substitusikan b = -1 ke persamaan (I) dan (II):
(I)   a/2 - (-1) + C = 5  => a/2 + 1 + C = 5  => a/2 + C = 4   (IV)
(II)  a/2 + (-1) + C = 3  => a/2 - 1 + C = 3  => a/2 + C = 4   (V)
Kedua persamaan ini konsisten.

Sekarang substitusikan b = -1 ke persamaan (III):
8a + 4(-1) + C = 15
8a - 4 + C = 15
8a + C = 19   (VI)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (a, C):
(IV)  a/2 + C = 4
(VI)  8a + C = 19

Kurangkan persamaan (IV) dari persamaan (VI):
(8a + C) - (a/2 + C) = 19 - 4
8a - a/2 = 15
16a/2 - a/2 = 15
15a/2 = 15
a = (15 * 2) / 15
a = 2

Substitusikan a = 2 ke persamaan (IV):
2/2 + C = 4
1 + C = 4
C = 3

Jadi, kita punya a = 2, b = -1, dan C = 3. Fungsi F(x) adalah:
F(x) = (2/2)x^2 + (-1)x + 3
F(x) = x^2 - x + 3

Terakhir, kita perlu menghitung nilai F(2):
F(2) = (2)^2 - (2) + 3
F(2) = 4 - 2 + 3
F(2) = 5

Jadi, nilai F(2) adalah 5.