Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathAljabar
Diketahui deret geometri dengan suku keenam 162 dan jumlah
Pertanyaan
Diketahui deret geometri dengan suku keenam 162 dan jumlah logaritma dari suku kedua, ketiga keempat dan kelima sama dengan 4 log2 + 6 log3, maka rasio deret ini adalah...
Solusi
Verified
Rasio deret geometri tersebut adalah 3.
Pembahasan
Misalkan suku pertama adalah $a$ dan rasio adalah $r$. Diketahui suku keenam adalah 162, sehingga $ar^5 = 162$. Diketahui juga bahwa jumlah logaritma dari suku kedua, ketiga, keempat, dan kelima adalah $4\log2 + 6\log3$. Ini dapat ditulis sebagai $\log(ar) + \log(ar^2) + \log(ar^3) + \log(ar^4) = \log(2^4) + \log(3^6)$. Menggunakan sifat logaritma, kita mendapatkan $\log(a^4 r^{10}) = \log(2^4 3^6)$. Oleh karena itu, $a^4 r^{10} = 2^4 3^6$. Kita memiliki dua persamaan: 1) $ar^5 = 162$ 2) $a^4 r^{10} = 162^2 imes 2^0 imes 3^0$ (tidak sesuai dengan soal) Mari kita ulangi interpretasi soal. Jumlah logaritma dari suku kedua, ketiga keempat dan kelima sama dengan $4 \log 2 + 6 \log 3$. Suku kedua adalah $ar$, suku ketiga adalah $ar^2$, suku keempat adalah $ar^3$, suku kelima adalah $ar^4$. $\\log(ar) + \log(ar^2) + \log(ar^3) + \log(ar^4) = 4 \log 2 + 6 \log 3$ $\\log(a^4 r^{(1+2+3+4)}) = \log(2^4) + \log(3^6)$ $\\log(a^4 r^{10}) = \log(2^4 3^6)$ $a^4 r^{10} = 2^4 3^6$ Kita juga tahu $ar^5 = 162 = 2 imes 3^4$. Dari $ar^5 = 162$, kita dapatkan $a = 162/r^5$. Substitusikan ke persamaan kedua: $(162/r^5)^4 r^{10} = 2^4 3^6$ $162^4 / r^{20} * r^{10} = 2^4 3^6$ $162^4 / r^{10} = 2^4 3^6$ $(2 imes 3^4)^4 / r^{10} = 2^4 3^6$ $2^4 imes 3^{16} / r^{10} = 2^4 3^6$ $3^{16} / r^{10} = 3^6$ $r^{10} = 3^{16} / 3^6 = 3^{10}$ Maka, $r = 3$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Deret Geometri
Section: Sifat Logaritma, Rumus Suku Ke N Deret Geometri
Apakah jawaban ini membantu?