Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah sama

1 - √2

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi f(x) = -1/3 x^3 + x + 4/3 pada interval -1 <= x <= 2, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.

Turunan pertama: f'(x) = -x^2 + 1
Untuk mencari nilai stasioner, kita atur f'(x) = 0:
-x^2 + 1 = 0
x^2 = 1
x = 1 atau x = -1

Sekarang kita evaluasi fungsi pada titik-titik stasioner dan titik ujung interval:
f(-1) = -1/3(-1)^3 + (-1) + 4/3 = 1/3 - 1 + 4/3 = 5/3 - 1 = 2/3
f(1) = -1/3(1)^3 + 1 + 4/3 = -1/3 + 1 + 4/3 = 3/3 + 1 = 2
f(2) = -1/3(2)^3 + 2 + 4/3 = -8/3 + 2 + 4/3 = -4/3 + 2 = 2/3

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 2.

Diketahui selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri adalah -4f'(0).
Kita hitung f'(0):
f'(0) = -(0)^2 + 1 = 1

Selisih suku kedua dan suku pertama (U2 - U1) = -4 * 1 = -4.
Dalam deret geometri, U2 - U1 = ar - a = a(r - 1).
Jadi, a(r - 1) = -4.

Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r).
Diketahui jumlah deret geometri tak hingga sama dengan nilai maksimum fungsi, yaitu 2.
Jadi, a / (1 - r) = 2, atau a = 2(1 - r).

Substitusikan nilai 'a' ke dalam persamaan a(r - 1) = -4:
2(1 - r)(r - 1) = -4
-2(r - 1)(r - 1) = -4
(r - 1)^2 = 2
r - 1 = ±√2

Jika r - 1 = √2, maka r = 1 + √2
Jika r - 1 = -√2, maka r = 1 - √2

Karena deret geometri tak hingga mempunyai jumlah, maka |r| < 1.
Nilai r = 1 + √2 tidak memenuhi syarat |r| < 1.
Nilai r = 1 - √2 memenuhi syarat |r| < 1 karena √2 ≈ 1.414, sehingga r ≈ 1 - 1.414 = -0.414.

Oleh karena itu, rasio deret geometri tersebut adalah 1 - √2.