Pada gambar di bawah ini, ABC adalah suatu segitiga,

n = 5/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep vektor dalam segitiga dan perbandingan vektor.
Diketahui BM:MC = 1:3, yang berarti vektor BM = (1/4) vektor BC.
N adalah titik tengah AC, yang berarti vektor AN = vektor NC = (1/2) vektor AC.
Diketahui MD:DA = 1:4, yang berarti vektor MD = (1/5) vektor MA.
Kita juga diberikan vektor BM = u dan vektor CN = v.

Karena N adalah titik tengah AC, maka vektor BN = vektor BA + vektor AN = vektor BA + (1/2) vektor AC.
Kita juga tahu bahwa vektor BC = vektor BM + vektor MC = vektor BM + 3 vektor BM = 4 vektor BM = 4u.
Jadi, vektor BN = vektor BA + (1/2) vektor BC = vektor BA + (1/2)(4u) = vektor BA + 2u.

Dari perbandingan MD:DA = 1:4, kita dapat menulis vektor AM = (5/4) vektor AD.
Karena D adalah titik potong AM dengan BN, maka vektor AD terletak pada garis BN.
Kita dapat mengekspresikan vektor AD sebagai kombinasi linear dari vektor AB dan vektor AN.

Mari kita gunakan vektor basis yang sesuai. Misalkan 
vektor AB = b, vektor AC = c.
Karena N titik tengah AC, maka vektor AN = (1/2)c.
Karena BM:MC = 1:3, maka vektor AM = (1/4)AB + (3/4)AC = (1/4)b + (3/4)c.
Karena MD:DA = 1:4, maka vektor AD = (4/5)AM = (4/5)((1/4)b + (3/4)c) = (1/5)b + (3/5)c.

Sekarang kita hubungkan ini dengan BN. Vektor BN = vektor BA + vektor AN = -b + (1/2)c.
Vektor BD = k * vektor BN = k(-b + (1/2)c) = -kb + (k/2)c.
Karena D juga terletak pada AM, kita dapat menulis vektor AD = m * vektor AM = m((1/4)b + (3/4)c) = (m/4)b + (3m/4)c.

Menyamakan koefisien dari b dan c:
-k = m/4  => m = -4k
(k/2) = (3m/4) => 2k = 3m

Substitusikan m = -4k ke persamaan kedua: 2k = 3(-4k) => 2k = -12k => 14k = 0 => k = 0. Ini tidak masuk akal.

Mari kita coba pendekatan lain dengan titik potong.
Misalkan D membagi BN dengan perbandingan BD:DN = x:y, dan AM dengan perbandingan AD:DM = 4:1.

Kita tahu vektor BM = u dan CN = v.

Karena N adalah titik tengah AC, vektor AN = vektor NC.
Karena BM:MC = 1:3, maka vektor BC = 4 vektor BM = 4u.

Kita diberikan BD = (1/n) BN. Ini berarti vektor BD = (1/n) vektor BN.

Mari kita gunakan titik A sebagai referensi.
vektor AB = vektor b
vektor AC = vektor c
vektor AN = (1/2) vektor c
vektor AM = (1/2)(vektor AB + vektor AC) = (1/2)(b+c). Ini salah karena M bukan titik tengah BC.

Mari kita gunakan C sebagai referensi.
vektor CB = -4u
vektor CA = -vektor c
vektor CN = v = (1/2) vektor CA = -(1/2)c

Kembali ke soal, kita punya BM:MC=1:3 dan N titik tengah AC. MD:DA=1:4. BD = 1/n BN.

Karena MD:DA = 1:4, maka AM = 5/4 AD. Ini berarti AD = 4/5 AM.
Dalam segitiga ABC, M adalah titik pada BC sehingga BM:MC = 1:3. N adalah titik tengah AC.
D adalah titik potong AM dan BN.

Menggunakan teorema garis berat atau teorema titik potong.

Dalam segitiga ABN, D terletak pada BN. Dalam segitiga AMC, D terletak pada AM.

Kita punya perbandingan sisi pada segitiga. Perhatikan segitiga ABM dan garis CN yang memotongnya.

Mari gunakan Teorema Menelaus pada segitiga ABM dan garis DNC.
(AD/DM) * (MC/CB) * (BN/NA) = 1. Ini tidak sesuai karena C tidak terletak pada perpanjangan BM.

Mari gunakan Teorema Menelaus pada segitiga AMC dan garis BND.
(AB/BC) * (CM/MA) * (ND/DA) = 1. Ini tidak sesuai.

Mari kita pakai vektor.
Misalkan vektor AB = x, vektor AC = y.
Karena N titik tengah AC, vektor AN = y/2.
Karena BM:MC = 1:3, maka vektor AM = (3 AB + 1 AC) / (1+3) = (3x + y)/4.
Karena MD:DA = 1:4, maka vektor AD = (4 AM) / 5 = (4/5) * (3x+y)/4 = (3x+y)/5.

Sekarang perhatikan vektor BN. Vektor BN = vektor BA + vektor AN = -x + y/2.
D terletak pada BN, jadi vektor BD = k * vektor BN = k(-x + y/2) = -kx + (k/2)y.

Kita juga tahu vektor AD = vektor AB + vektor BD = x + BD = x + (-kx + (k/2)y) = (1-k)x + (k/2)y.

Menyamakan dua ekspresi untuk vektor AD:
(3x+y)/5 = (1-k)x + (k/2)y
(3/5)x + (1/5)y = (1-k)x + (k/2)y

Menyamakan koefisien x:
3/5 = 1-k => k = 1 - 3/5 = 2/5.

Menyamakan koefisien y:
1/5 = k/2 => k = 2/5.

Jadi, vektor BD = (2/5) vektor BN.
Kita diberikan vektor BD = (1/n) vektor BN.

Maka, 1/n = 2/5 => n = 5/2.

Namun, dalam soal diberikan vektor BM = u, CN = v, BD = 1/n BN. Nilai n yang ditanyakan.
Kita perlu mengekspresikan semuanya dalam u dan v jika memungkinkan, atau menggunakan rasio.

Kita menemukan bahwa rasio BD/BN = 2/5.
Jadi, BD = (2/5) BN.
Jika BD = (1/n) BN, maka 1/n = 2/5, sehingga n = 5/2.

Mari kita cek ulang perhitungannya.
AM = (3 AB + 1 AC) / 4. Ini jika M membagi BC.

Dengan titik berat:
Jika D adalah titik potong median, maka AD:DM = 2:1.

Dalam soal ini, D adalah titik potong AM dan BN. BM:MC=1:3, N titik tengah AC, MD:DA=1:4.

Mari gunakan Ceva's Theorem.

Perhatikan segitiga ABC, dan titik D di dalamnya. Garis AD, BN, CM berpotongan di D.
Perbandingan yang diberikan adalah pada sisi-sisi:
BM/MC = 1/3
CN/NA = 1/1 (karena N titik tengah AC)
AM/MD = 5/1 (karena MD:DA = 1:4)

Ceva's Theorem menyatakan bahwa jika garis-garis AD, BN, CM berpotongan di satu titik D, maka:
(BM/MC) * (CN/NA) * (AD/DM) = 1

Mari kita cek perbandingan yang diberikan:
(1/3) * (1/1) * (4/1) = 4/3 != 1.
Ini berarti D BUKAN titik potong dari AM, BN, dan CM.
Namun, D adalah titik potong AM dengan BN.

Kembali ke perhitungan vektor:
vektor AD = (3x+y)/5
vektor BD = -kx + (k/2)y
vektor AD = (1-k)x + (k/2)y
3/5 = 1-k => k = 2/5.

Jadi BD = (2/5) BN.
Maka 1/n = 2/5, n = 5/2.

Bagaimana jika u dan v digunakan?
vektor BM = u
vektor CN = v
vektor BD = (1/n) vektor BN

vektor BC = 4u
vektor AC = 2v (karena N titik tengah AC dan CN=v, maka AN=v, AC=2v)

vektor AB = vektor AC + vektor CB = 2v - 4u.

vektor BN = vektor BA + vektor AN = -(2v-4u) + v = 4u - v.

vektor BD = (1/n) (4u - v).

Sekarang kita gunakan perbandingan MD:DA = 1:4 pada garis AM.
vektor AM = (4 AD) / 5.

vektor AM = vektor AB + vektor BM = (2v - 4u) + u = 2v - 3u.

vektor AD = vektor AB + vektor BD = (2v - 4u) + (1/n)(4u - v) = (2v - 4u) + (4/n)u - (1/n)v = (2 - 1/n)v + (-4 + 4/n)u.

Kita juga tahu vektor AD = (4/5) vektor AM = (4/5)(2v - 3u) = (8/5)v - (12/5)u.

Menyamakan koefisien u dan v:

Untuk v: 2 - 1/n = 8/5
-1/n = 8/5 - 2 = 8/5 - 10/5 = -2/5
1/n = 2/5 => n = 5/2.

Untuk u: -4 + 4/n = -12/5
4/n = -12/5 + 4 = -12/5 + 20/5 = 8/5
4n = 5*4/8 = 20/8 = 5/2
n = 5/2.

Jadi nilai n adalah 5/2.