Diketahui empat buah titik terletak di ruang dengan

Terbukti persegi panjang karena sisi berhadapan sejajar dan sama panjang, serta hasil kali titik vektor sisi yang berdekatan adalah nol.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa ABCD adalah bangun persegi panjang menggunakan teorema ortogonalitas, kita perlu menunjukkan bahwa dua pasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, serta diagonalnya sama panjang. Kita dapat menggunakan vektor.

Koordinat titik:
A(2,-1,0), B(0,-1,-1), C(1,1,-3), D(3,1,-2)

Vektor sisi:
AB = B - A = (0-2, -1-(-1), -1-0) = (-2, 0, -1)
DC = C - D = (1-3, 1-1, -3-(-2)) = (-2, 0, -1)
Karena AB = DC, maka sisi AB sejajar dan sama panjang dengan sisi DC.

AD = D - A = (3-2, 1-(-1), -2-0) = (1, 2, -2)
BC = C - B = (1-0, 1-(-1), -3-(-1)) = (1, 2, -2)
Karena AD = BC, maka sisi AD sejajar dan sama panjang dengan sisi BC.

Karena kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang, maka ABCD adalah bangun jajargenjang.

Selanjutnya, kita periksa apakah sudutnya siku-siku dengan menggunakan hasil kali titik (dot product) antar vektor sisi yang berdekatan. Jika hasil kali titiknya nol, maka kedua vektor tersebut tegak lurus (ortogonal).

AB · AD = (-2)(1) + (0)(2) + (-1)(-2) = -2 + 0 + 2 = 0
Karena AB · AD = 0, maka sudut di A adalah siku-siku.

Karena ABCD adalah jajargenjang dengan salah satu sudutnya siku-siku, maka ABCD adalah persegi panjang.

Alternatif lain, kita bisa memeriksa kesamaan panjang diagonal:
AC = C - A = (1-2, 1-(-1), -3-0) = (-1, 2, -3)
Panjang AC = √((-1)² + 2² + (-3)²) = √(1 + 4 + 9) = √14

BD = D - B = (3-0, 1-(-1), -2-(-1)) = (3, 2, -1)
Panjang BD = √(3² + 2² + (-1)²) = √(9 + 4 + 1) = √14

Karena panjang diagonal AC sama dengan panjang diagonal BD, dan ABCD adalah jajargenjang, maka ABCD adalah persegi panjang.