Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x^2+x-2) bersisa

x^3 - x^2 - 2x + 3

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah P(x).
Menurut teorema sisa, jika P(x) dibagi dengan (x-a), maka sisanya adalah P(a).
Jika P(x) dibagi dengan (x^2+x-2), maka P(x) = (x^2+x-2) Q1(x) + (2x-1).
Karena x^2+x-2 = (x+2)(x-1), maka:
P(-2) = ((-2)^2+(-2)-2) Q1(-2) + (2(-2)-1) = 0 * Q1(-2) + (-4-1) = -5.
P(1) = (1^2+1-2) Q1(1) + (2(1)-1) = 0 * Q1(1) + (2-1) = 1.

Jika P(x) dibagi dengan (x^2+x-3), maka P(x) = (x^2+x-3) Q2(x) + (3x-3).
P(x) berderajat 3, kita bisa misalkan P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Atau, kita bisa gunakan bentuk umum sisa pembagian.
Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya berderajat maksimal 1.
Misalkan sisa P(x) dibagi (x^2+x-3) adalah (Ax+B).
Jadi, P(x) = (x^2+x-3) Q2(x) + (Ax+B).

Kita memiliki P(-2) = -5 dan P(1) = 1.
Dari P(x) = (x^2+x-3) Q2(x) + (Ax+B):
P(-2) = ((-2)^2+(-2)-3) Q2(-2) + (A(-2)+B) = (4-2-3) Q2(-2) + (-2A+B) = -Q2(-2) + (-2A+B) = -5.
P(1) = (1^2+1-3) Q2(1) + (A(1)+B) = (1+1-3) Q2(1) + (A+B) = -Q2(1) + (A+B) = 1.

Soal ini memberikan informasi yang berbeda untuk kedua pembagian. Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal dan kita perlu menemukan suku banyak P(x) berdasarkan informasi yang diberikan, atau ada cara lain untuk menyelesaikannya. 

Mari kita kembali ke informasi awal:
P(x) = (x^2+x-2) Q1(x) + (2x-1)
P(x) = (x+2)(x-1) Q1(x) + (2x-1)
P(-2) = -5
P(1) = 1

P(x) = (x^2+x-3) Q2(x) + (3x-3)

Jika kita misalkan P(x) = (x^2+x-2)(ax+b) + (2x-1), karena P(x) berderajat 3.
Maka:
P(1) = (1+1-2)(a+b) + (2-1) = 0*(a+b) + 1 = 1. Ini konsisten.
P(-2) = (4-2-2)(-2a+b) + (2(-2)-1) = 0*(-2a+b) + (-4-1) = -5. Ini juga konsisten.

Sekarang kita gunakan informasi kedua:
P(x) = (x^2+x-3) Q2(x) + (3x-3).

Karena P(x) berderajat 3, kita bisa menulis P(x) = S(x) dengan S(x) adalah suku banyak.

Mari kita coba substitusi P(x) = (x^2+x-2)(ax+b) + (2x-1) ke dalam pembagian kedua:
[(x^2+x-2)(ax+b) + (2x-1)] dibagi (x^2+x-3).

Kita bisa tulis x^2+x-2 = (x^2+x-3) + 1.
Maka P(x) = [(x^2+x-3) + 1](ax+b) + (2x-1)
P(x) = (x^2+x-3)(ax+b) + (ax+b) + (2x-1)
P(x) = (x^2+x-3)(ax+b) + (ax + (b+2)x + (b-1))
P(x) = (x^2+x-3)(ax+b) + ((a+2)x + (b-1))

Sisa dari pembagian P(x) dengan (x^2+x-3) adalah (3x-3).
Jadi, kita samakan sisa yang kita dapatkan dengan sisa yang diberikan:
(a+2)x + (b-1) = 3x-3.

Dari sini kita dapatkan dua persamaan:
a+2 = 3  => a = 1.
b-1 = -3 => b = -2.

Jadi, P(x) = (x^2+x-2)(1x-2) + (2x-1).
P(x) = x(x^2+x-2) - 2(x^2+x-2) + (2x-1)
P(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2x^2 - 2x + 4 + 2x - 1
P(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3.

Mari kita cek:
Jika P(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3 dibagi (x^2+x-2):
(x^3 - x^2 - 2x + 3) / (x^2+x-2)
        x   - 2
      ____________
x^2+x-2 | x^3 - x^2 - 2x + 3
        -(x^3 + x^2 - 2x)
        ____________
              -2x^2 + 0x + 3
            -(-2x^2 - 2x + 4)
            ____________
                     2x - 1. (Sisa sesuai)

Jika P(x) = x^3 - x^2 - 2x + 3 dibagi (x^2+x-3):
        x   - 2
      ____________
x^2+x-3 | x^3 - x^2 - 2x + 3
        -(x^3 + x^2 - 3x)
        ____________
              -2x^2 + x + 3
            -(-2x^2 - 2x + 6)
            ____________
                     3x - 3. (Sisa sesuai)

Jadi, suku banyak tersebut adalah x^3 - x^2 - 2x + 3.