Diketahui f(x)={1/4 x^3, untuk 0 <= x <= 2 0, untuk x yang

8/75

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan teori probabilitas, khususnya variansi dari distribusi probabilitas kontinu. Diketahui fungsi kepadatan probabilitas (pdf) f(x) adalah:

f(x) = 1/4 x^3, untuk 0 <= x <= 2
       0, untuk x lainnya

Untuk menghitung variansi (Var(X)) dari distribusi ini, kita perlu terlebih dahulu menghitung nilai harapan (mean, E(X)) dan nilai harapan dari kuadrat variabel acak (E(X^2)).

Rumus variansi adalah: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

1. Menghitung E(X):
E(X) = ∫[x * f(x)] dx dari -∞ hingga ∞
Karena f(x) hanya non-nol antara 0 dan 2, integralnya menjadi:
E(X) = ∫[x * (1/4 x^3)] dx dari 0 hingga 2
     = ∫[1/4 x^4] dx dari 0 hingga 2
     = [1/4 * (x^5 / 5)] dari 0 hingga 2
     = [1/20 * x^5] dari 0 hingga 2
     = (1/20 * 2^5) - (1/20 * 0^5)
     = (1/20 * 32) - 0
     = 32/20 = 8/5

2. Menghitung E(X^2):
E(X^2) = ∫[x^2 * f(x)] dx dari -∞ hingga ∞
E(X^2) = ∫[x^2 * (1/4 x^3)] dx dari 0 hingga 2
     = ∫[1/4 x^5] dx dari 0 hingga 2
     = [1/4 * (x^6 / 6)] dari 0 hingga 2
     = [1/24 * x^6] dari 0 hingga 2
     = (1/24 * 2^6) - (1/24 * 0^6)
     = (1/24 * 64) - 0
     = 64/24 = 8/3

3. Menghitung Variansi (Var(X)):
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
     = (8/3) - (8/5)^2
     = (8/3) - (64/25)

Samakan penyebutnya (penyebut bersama adalah 75):
Var(X) = (8 * 25) / (3 * 25) - (64 * 3) / (25 * 3)
     = 200 / 75 - 192 / 75
     = (200 - 192) / 75
     = 8 / 75

Jadi, variansi dari distribusi tersebut adalah 8/75.