Diketahui f(x)=2x^3+15x^2-36x+11 a. Tentukan f'(x),

a. f'(x)=6x^2+30x-36; naik di x<-6 atau x>1, turun di -6<x<1. b. Titik stasioner: (-6, 335) dan (1, -8).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari turunan pertama dari f(x), menganalisis tanda turunan pertama untuk menentukan interval naik/turun, dan mencari koordinat titik stasioner.

Diketahui fungsi: f(x) = 2x^3 + 15x^2 - 36x + 11

a. **Menentukan f'(x) dan tanda-tanda f'(x):**
   Turunan pertama dari f(x) adalah:
f'(x) = d/dx (2x^3 + 15x^2 - 36x + 11)
f'(x) = 6x^2 + 30x - 36

   Untuk menganalisis tanda f'(x), kita cari dulu akar-akar dari f'(x) = 0:
   6x^2 + 30x - 36 = 0
   Bagi kedua sisi dengan 6:
   x^2 + 5x - 6 = 0
   Faktorkan persamaan kuadrat:
   (x + 6)(x - 1) = 0
   Maka, akar-akarnya adalah x = -6 dan x = 1.

   Kita buat garis bilangan untuk menentukan tanda f'(x) di setiap interval:
   *   Untuk x < -6 (misal x = -7): f'(-7) = 6(-7)^2 + 30(-7) - 36 = 6(49) - 210 - 36 = 294 - 210 - 36 = 48 (positif)
   *   Untuk -6 < x < 1 (misal x = 0): f'(0) = 6(0)^2 + 30(0) - 36 = -36 (negatif)
   *   Untuk x > 1 (misal x = 2): f'(2) = 6(2)^2 + 30(2) - 36 = 6(4) + 60 - 36 = 24 + 60 - 36 = 48 (positif)

b. **Menentukan interval fungsi f(x) naik dan turun:**
   *   Fungsi f(x) naik ketika f'(x) > 0. Dari analisis tanda di atas, f(x) naik pada interval **x < -6** atau **x > 1**.
   *   Fungsi f(x) turun ketika f'(x) < 0. Dari analisis tanda di atas, f(x) turun pada interval **-6 < x < 1**.

c. **Menentukan koordinat titik-titik stasionernya:**
   Titik stasioner terjadi ketika f'(x) = 0, yaitu pada x = -6 dan x = 1.
   *   Untuk x = -6:
      f(-6) = 2(-6)^3 + 15(-6)^2 - 36(-6) + 11
      f(-6) = 2(-216) + 15(36) + 216 + 11
      f(-6) = -432 + 540 + 216 + 11
      f(-6) = 335
      Jadi, titik stasioner pertama adalah **(-6, 335)**.

   *   Untuk x = 1:
      f(1) = 2(1)^3 + 15(1)^2 - 36(1) + 11
      f(1) = 2(1) + 15(1) - 36 + 11
      f(1) = 2 + 15 - 36 + 11
      f(1) = 28 - 36
      f(1) = -8
      Jadi, titik stasioner kedua adalah **(1, -8)**.