Diketahui sebuah pabrik memproduksi barang sebanyak t unit

-44.000

Pembahasan

Untuk mencari biaya total pembuatan 500 unit barang, kita perlu mengintegralkan fungsi biaya marginal dan menambahkan biaya tetap (jika ada) atau menggunakan informasi biaya awal.

Fungsi biaya marginal diberikan oleh C'(t) = 30 - 0,5t.
Untuk mencari fungsi biaya total C(t), kita integralkan C'(t) terhadap t:
C(t) = ∫(30 - 0,5t) dt
C(t) = 30t - 0,5 * (t^2 / 2) + K
C(t) = 30t - 0,25t^2 + K

K adalah konstanta integrasi yang mewakili biaya tetap (biaya saat t=0).

Informasi yang diberikan: "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00". Ini bisa diartikan sebagai biaya variabel per unit atau biaya tambahan untuk unit pertama. Namun, dalam konteks biaya marginal, interpretasi yang lebih umum adalah bahwa biaya untuk memproduksi unit pertama adalah Rp3.500,00.

Jika C(1) = 3500:
3500 = 30(1) - 0,25(1)^2 + K
3500 = 30 - 0,25 + K
3500 = 29,75 + K
K = 3500 - 29,75
K = 3470,25

Maka, fungsi biaya total adalah C(t) = 30t - 0,25t^2 + 3470,25.

Sekarang kita hitung biaya total untuk membuat 500 unit barang, yaitu C(500):
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + 3470,25
C(500) = 15000 - 0,25(250000) + 3470,25
C(500) = 15000 - 62500 + 3470,25
C(500) = -47500 + 3470,25
C(500) = -44029,75

Hasil negatif ini tidak masuk akal untuk biaya. Mari kita tinjau ulang interpretasi soal.

Interpretasi alternatif: "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00" bisa jadi adalah biaya marginal untuk unit pertama, yaitu C'(1) = 3500. Tapi C'(1) = 30 - 0,5(1) = 29,5, yang tidak sama dengan 3500.

Interpretasi lain: Mungkin Rp3.500,00 adalah biaya tetap awal (K) atau biaya produksi unit pertama (bukan marginal).

Jika Rp3.500,00 adalah biaya tetap (K):
C(t) = 30t - 0,25t^2 + 3500
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + 3500
C(500) = 15000 - 0,25(250000) + 3500
C(500) = 15000 - 62500 + 3500
C(500) = -44000
Hasil tetap negatif.

Mari kita coba interpretasi bahwa biaya marginal C'(t) = 30 - 0,5t adalah dalam satuan ribuan rupiah, dan biaya untuk membuat 1 unit adalah Rp3.500,00.
Jika C'(t) dalam ribuan, maka C'(t) = (30 - 0,5t) ribu.
Dan biaya untuk membuat 1 unit barang adalah Rp3.500,00, ini bisa berarti C(1) = 3500.

C(t) = ∫(30 - 0,5t) dt = 30t - 0,25t^2 + K (dalam ribuan).
C(1) = 30(1) - 0,25(1)^2 + K = 30 - 0,25 + K = 29,75 + K (dalam ribuan).
Jika C(1) = 3,5 (dalam ribuan):
3,5 = 29,75 + K
K = 3,5 - 29,75 = -26,25 (dalam ribuan).

C(t) = 30t - 0,25t^2 - 26,25 (dalam ribuan).
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 - 26,25
C(500) = 15000 - 62500 - 26,25
C(500) = -47500 - 26,25 = -47526,25 (dalam ribuan).
Hasil masih negatif.

Ada kemungkinan bahwa biaya marginal yang diberikan adalah untuk produksi awal atau bahwa biaya per unit Rp3.500,00 adalah informasi yang harus digunakan secara langsung.

Jika kita mengasumsikan biaya Rp3.500,00 adalah biaya rata-rata untuk 1 unit, dan pabrik memproduksi t unit, maka total biaya awal adalah 3500*t. Tapi ini tidak sesuai dengan konsep biaya marginal.

Mari kita coba interpretasi yang paling logis secara ekonomi:
Biaya marginal C'(t) = 30 - 0,5t adalah laju perubahan biaya terhadap jumlah unit (t). Biaya total C(t) adalah integral dari C'(t). Biaya awal (biaya tetap) adalah C(0) = K.

Jika "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00" berarti biaya produksi unit pertama (bukan biaya tetap), maka C(1) - C(0) = 3500. Tapi ini sama dengan C'(x) untuk x antara 0 dan 1, yang tidak bisa kita hitung pasti tanpa info lebih lanjut.

Asumsi paling masuk akal jika soal ini dari konteks kalkulus ekonomi:
C'(t) = 30 - 0,5t adalah biaya marginal (misalnya dalam Rupiah per unit).
C(t) = 30t - 0,25t^2 + K
Biaya tetap adalah C(0) = K.
Informasi "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00" mungkin salah ditafsirkan atau soalnya ambigu.

Jika kita asumsikan Rp3.500,00 adalah biaya tetap (K):
C(t) = 30t - 0,25t^2 + 3500
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + 3500 = 15000 - 62500 + 3500 = -44000. Masih negatif.

Mari kita lihat koefisien C'(t) = 30 - 0,5t. Jika t adalah jumlah unit, untuk t besar, biaya marginal bisa negatif, yang aneh.

Kemungkinan besar soal ini menganggap Rp3.500,00 adalah biaya tetap (K).
Jika kita mengabaikan hasil negatif dan mengikuti perhitungan:
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + K
Jika biaya awal C(0) = 0 (tidak ada biaya tetap), maka K=0.
C(500) = 15000 - 62500 = -47500.

Jika kita mengasumsikan biaya produksi awal 0 unit adalah Rp 3.500,00 (K = 3500):
C(500) = 30(500) - 0.25(500)^2 + 3500 = 15000 - 62500 + 3500 = -44000.

Ada kemungkinan angka-angkanya dirancang sedemikian rupa sehingga menghasilkan nilai negatif, atau ada kesalahan dalam soal atau interpretasi biaya Rp3.500,00.

Jika kita asumsikan Rp3.500,00 adalah biaya untuk memproduksi unit pertama, yaitu C(1) - C(0) = 3.500. Dan C'(t) = 30 - 0,5t.
C(t) = 30t - 0,25t^2 + K.
C(1) = 30(1) - 0,25(1)^2 + K = 29,75 + K.
C(0) = K.
C(1) - C(0) = (29,75 + K) - K = 29,75.
Ini tidak sama dengan 3500.

Mari kita coba interpretasi lain: Biaya marginal C'(t) adalah biaya tambahan untuk memproduksi unit ke-t. Jadi, biaya total adalah jumlah biaya marginal dari unit 1 hingga unit ke-t, ditambah biaya tetap.
Biaya total untuk 500 unit = C(500) = C(0) + ∫[dari 0 sampai 500] C'(t) dt
C(500) = K + [30t - 0,25t^2] (dari 0 sampai 500)
C(500) = K + (30*500 - 0,25*500^2) - (30*0 - 0,25*0^2)
C(500) = K + (15000 - 0,25*250000)
C(500) = K + (15000 - 62500)
C(500) = K - 47500

Sekarang, bagaimana menggunakan "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00"?
Jika ini berarti biaya tetap K = 3500:
C(500) = 3500 - 47500 = -44000.

Jika ini berarti biaya untuk memproduksi unit pertama adalah 3500, dan biaya tetap K=0:
C(500) = 0 - 47500 = -47500.

Kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan dalam angkanya, karena biaya produksi tidak mungkin negatif. Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan langsung dari interpretasi yang paling mungkin (biaya tetap = 3500), maka hasilnya adalah -44000.

Jika kita berasumsi bahwa 'biaya marginal' sebenarnya adalah 'biaya rata-rata', yang mana C(t)/t = 30 - 0,5t, maka C(t) = 30t - 0,5t^2. Dan biaya untuk membuat 1 unit adalah 3500, jadi C(1) = 3500. Maka 3500 = 30(1) - 0,5(1)^2 = 29,5, yang tidak konsisten.

Mari kita ambil interpretasi bahwa C'(t) = 30 - 0,5t adalah biaya marginal dalam Rupiah, dan K (biaya tetap) adalah Rp 3.500,00.
C(t) = 30t - 0.25t^2 + 3500
C(500) = 30(500) - 0.25(500)^2 + 3500
C(500) = 15000 - 62500 + 3500
C(500) = -44000.

Jika kita mengabaikan nilai negatif dan hanya menyajikan hasil perhitungan:
Biaya total untuk membuat 500 unit adalah Rp -44.000,00 (berdasarkan asumsi biaya tetap Rp 3.500,00).

Karena hasil negatif tidak masuk akal, mari kita cari interpretasi lain yang mungkin benar.

Jika Rp3.500,00 adalah biaya untuk produksi unit pertama saja (bukan biaya tetap total), yaitu C(1) = 3500:
C(t) = 30t - 0.25t^2 + K
C(1) = 30(1) - 0.25(1)^2 + K = 29.75 + K
3500 = 29.75 + K
K = 3470.25

C(500) = 30(500) - 0.25(500)^2 + 3470.25
C(500) = 15000 - 62500 + 3470.25
C(500) = -44029.75

Tetap negatif. Kemungkinan besar ada kesalahan pada soal.

Jika kita mengasumsikan C'(t) adalah dalam satuan ribuan dan biaya untuk 1 unit adalah 3.5 ribu Rupiah, dan biaya tetap 0.
C(t) = 30t - 0.25t^2
C(500) = 30(500) - 0.25(500)^2 = 15000 - 62500 = -47500 (ribu).

Jika kita membalikkan soalnya, misalnya biaya marginal C'(t) = 3000 + 50t, dan biaya tetap K.
Jika biaya untuk 1 unit adalah 3500, maka C(1) = 3500.
C(t) = ∫(3000 + 50t) dt = 3000t + 25t^2 + K.
C(1) = 3000(1) + 25(1)^2 + K = 3025 + K.
3500 = 3025 + K => K = 475.
C(t) = 3000t + 25t^2 + 475.
C(500) = 3000(500) + 25(500)^2 + 475
C(500) = 1.500.000 + 25(250000) + 475
C(500) = 1.500.000 + 6.250.000 + 475 = 7.750.475.
Ini adalah contoh jika soalnya berbeda.

Kembali ke soal asli, dengan asumsi C'(t) = 30 - 0,5t adalah biaya marginal dan Rp3.500,00 adalah biaya tetap (K).
C(t) = 30t - 0,25t^2 + 3500
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + 3500
C(500) = 15000 - 62500 + 3500
C(500) = -44000

Meskipun hasilnya negatif, inilah hasil perhitungan langsungnya. Jawaban yang mungkin diharapkan adalah penjelasan mengenai ketidaklogisan hasil atau asumsi yang dibuat.

Dalam konteks ujian, jika tidak ada informasi tambahan, kita harus mengikuti prosedur matematisnya.
Biaya total untuk membuat 500 unit adalah C(500).
Kita integralkan C'(t) = 30 - 0,5t untuk mendapatkan C(t):
C(t) = ∫(30 - 0,5t) dt = 30t - 0,25t^2 + K

Kita gunakan informasi "Untuk membuat 1 unit barang, diperlukan biaya Rp3.500,00". Interpretasi yang paling masuk akal adalah ini adalah biaya tetap awal, K = 3500.

Jadi, C(t) = 30t - 0,25t^2 + 3500.

Hitung C(500):
C(500) = 30(500) - 0,25(500)^2 + 3500
C(500) = 15000 - 0,25(250000) + 3500
C(500) = 15000 - 62500 + 3500
C(500) = -44000

Jawaban yang dihasilkan adalah -44000. Namun, karena biaya tidak mungkin negatif, kemungkinan besar soal ini memiliki kesalahan data atau ambigu.