Jika P(x) dibagi oleh (x^2-2x) dan (x^2-3x) masing-masing

12x - 19

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan Teorema Sisa pada polinomial. Kita diberikan informasi tentang sisa pembagian P(x) oleh dua polinomial berbeda, dan kita diminta mencari sisa pembagian oleh hasil kali kedua polinomial tersebut.

Diketahui:
1. P(x) dibagi oleh (x^2 - 2x) bersisa 2x + 1.
   x^2 - 2x = x(x - 2).
   Menurut Teorema Sisa, jika P(x) dibagi oleh (x-a), sisanya adalah P(a).
   Dari pembagian ini, kita dapatkan:
P(0) = 2(0) + 1 = 1
P(2) = 2(2) + 1 = 5

2. P(x) dibagi oleh (x^2 - 3x) bersisa 5x + 2.
   x^2 - 3x = x(x - 3).
   Dari pembagian ini, kita dapatkan:
P(0) = 5(0) + 2 = 2
P(3) = 5(3) + 2 = 17

Perhatikan bahwa kita mendapatkan dua nilai berbeda untuk P(0), yaitu P(0) = 1 dari kondisi pertama dan P(0) = 2 dari kondisi kedua. Ini menunjukkan adanya inkonsistensi dalam soal yang diberikan. Jika sebuah polinomial dibagi oleh suatu ekspresi, hasil sisanya harus unik.

Asumsikan ada kesalahan ketik dalam soal, dan kita coba kerjakan berdasarkan prinsipnya.

Kita ingin mencari sisa P(x) ketika dibagi oleh (x^2 - 5x + 6).
Polinomial pembagi adalah x^2 - 5x + 6. Kita faktorkan: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Ketika P(x) dibagi oleh polinomial berderajat 2, sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagiannya adalah Ax + B.

P(x) = Q(x) * (x^2 - 5x + 6) + (Ax + B)
P(x) = Q(x) * (x - 2)(x - 3) + (Ax + B)

Kita gunakan nilai-nilai P(x) yang kita peroleh dari informasi awal.

Dari kondisi 1 (P(x) dibagi x(x-2) bersisa 2x+1):
Kita punya P(0) = 1 dan P(2) = 5.

Dari kondisi 2 (P(x) dibagi x(x-3) bersisa 5x+2):
Kita punya P(0) = 2 dan P(3) = 17.

Sekali lagi, P(0) = 1 dan P(0) = 2 adalah kontradiksi.

Jika kita mengabaikan inkonsistensi pada P(0) dan menggunakan nilai P(2) dan P(3) saja (karena pembagi x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) hanya melibatkan akar 2 dan 3):

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan P(x) = Q(x)(x-2)(x-3) + Ax + B:
P(2) = Q(2)(2-2)(2-3) + A(2) + B
P(2) = Q(2)(0)(-1) + 2A + B
P(2) = 2A + B
Kita tahu dari kondisi 1 bahwa P(2) = 5. Jadi:
2A + B = 5  --- (Persamaan 1)

Substitusikan x = 3 ke dalam persamaan P(x) = Q(x)(x-2)(x-3) + Ax + B:
P(3) = Q(3)(3-2)(3-3) + A(3) + B
P(3) = Q(3)(1)(0) + 3A + B
P(3) = 3A + B
Kita tahu dari kondisi 2 bahwa P(3) = 17. Jadi:
3A + B = 17 --- (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B:
(Persamaan 2) - (Persamaan 1):
(3A + B) - (2A + B) = 17 - 5
A = 12

Substitusikan nilai A = 12 ke Persamaan 1:
2(12) + B = 5
24 + B = 5
B = 5 - 24
B = -19

Maka, sisa pembagiannya adalah Ax + B = 12x - 19.

Namun, perlu dicatat bahwa solusi ini didasarkan pada pengabaian inkonsistensi pada nilai P(0). Jika soal ini berasal dari sumber terpercaya, mungkin ada interpretasi lain atau teorema yang berlaku untuk kasus inkonsistensi.

Jika soalnya benar dan ada inkonsistensi, maka tidak ada polinomial P(x) yang memenuhi kedua kondisi tersebut secara bersamaan, sehingga sisa pembagian oleh (x^2-5x+6) tidak dapat ditentukan secara unik.

Namun, dalam konteks soal ujian standar, biasanya diasumsikan bahwa ada polinomial yang memenuhi, dan inkonsistensi tersebut adalah kesalahan pengetikan. Dalam kasus tersebut, kita menggunakan informasi yang relevan dengan pembagi baru (yaitu akar-akar dari x^2-5x+6).