Diketahui f(x)=3 x+2 dan g(x)=4-2x. Tentukan nilai x supaya

Tidak ada nilai x yang memenuhi karena (fog)^(-1)(x) = (g^(-1)of^(-1))(x). Jika yang dimaksud adalah kesamaan ini, maka berlaku untuk semua x.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x agar (fog)^(-1)(x) = (f^(-1)og^(-1))(x), kita perlu mencari invers dari fungsi f(x) dan g(x), kemudian komposisi fungsi inversnya, dan terakhir menyamakan kedua ekspresi tersebut.

Langkah 1: Cari invers dari f(x) dan g(x).
Jika f(x) = 3x + 2, maka inversnya, f^(-1)(x), dicari dengan mengganti f(x) dengan y, lalu menukar x dan y dan menyelesaikan untuk y.
y = 3x + 2
x = 3y + 2
x - 2 = 3y
y = (x - 2) / 3
Jadi, f^(-1)(x) = (x - 2) / 3.

Jika g(x) = 4 - 2x, maka inversnya, g^(-1)(x), dicari dengan cara yang sama.
y = 4 - 2x
x = 4 - 2y
x - 4 = -2y
y = (x - 4) / -2
y = (4 - x) / 2
Jadi, g^(-1)(x) = (4 - x) / 2.

Langkah 2: Cari komposisi fungsi (fog)(x).
(fog)(x) = f(g(x))
(fog)(x) = f(4 - 2x)
(fog)(x) = 3(4 - 2x) + 2
(fog)(x) = 12 - 6x + 2
(fog)(x) = 14 - 6x

Langkah 3: Cari invers dari (fog)(x), yaitu (fog)^(-1)(x).
y = 14 - 6x
x = 14 - 6y
x - 14 = -6y
y = (x - 14) / -6
y = (14 - x) / 6
Jadi, (fog)^(-1)(x) = (14 - x) / 6.

Langkah 4: Cari komposisi fungsi (f^(-1)og^(-1))(x).
(f^(-1)og^(-1))(x) = f^(-1)(g^(-1)(x))
(f^(-1)og^(-1))(x) = f^(-1)((4 - x) / 2)
(f^(-1)og^(-1))(x) = [((4 - x) / 2) - 2] / 3
(f^(-1)og^(-1))(x) = [(4 - x - 4) / 2] / 3
(f^(-1)og^(-1))(x) = (-x / 2) / 3
(f^(-1)og^(-1))(x) = -x / 6

Langkah 5: Samakan (fog)^(-1)(x) dengan (f^(-1)og^(-1))(x).
(14 - x) / 6 = -x / 6
Kalikan kedua sisi dengan 6:
14 - x = -x
14 = 0

Kesimpulan: Tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan (fog)^(-1)(x) = (f^(-1)og^(-1))(x). Hal ini karena sifat umum dari komposisi fungsi invers adalah (fog)^(-1)(x) = (g^(-1)of^(-1))(x), bukan (f^(-1)og^(-1))(x). Jika soal dimaksudkan (fog)^(-1)(x) = (g^(-1)of^(-1))(x), maka:
(14 - x) / 6 = g^(-1)(f^(-1)(x))
(14 - x) / 6 = g^(-1)((x - 2) / 3)
(14 - x) / 6 = [4 - ((x - 2) / 3)] / 2
(14 - x) / 6 = [(12 - (x - 2)) / 3] / 2
(14 - x) / 6 = (12 - x + 2) / 6
(14 - x) / 6 = (14 - x) / 6
Persamaan ini benar untuk semua nilai x.