Diketahui f(x)=9x^(1/3)-5x^(-1/2)+2x^(1/4) dan

a. f''(x) = -2x^(-5/3) - (15/4)x^(-5/2) - (3/8)x^(-7/4) b. g''(x) = -2 / (2 - x)^3

Pembahasan

Untuk menentukan turunan kedua dari fungsi f(x) dan g(x):

Untuk f(x) = 9x^(1/3) - 5x^(-1/2) + 2x^(1/4):
Turunan pertama, f'(x):
f'(x) = d/dx (9x^(1/3)) - d/dx (5x^(-1/2)) + d/dx (2x^(1/4))
f'(x) = 9 * (1/3)x^((1/3)-1) - 5 * (-1/2)x^((-1/2)-1) + 2 * (1/4)x^((1/4)-1)
f'(x) = 3x^(-2/3) + (5/2)x^(-3/2) + (1/2)x^(-3/4)

Turunan kedua, f''(x):
f''(x) = d/dx (3x^(-2/3)) + d/dx ((5/2)x^(-3/2)) + d/dx ((1/2)x^(-3/4))
f''(x) = 3 * (-2/3)x^((-2/3)-1) + (5/2) * (-3/2)x^((-3/2)-1) + (1/2) * (-3/4)x^((-3/4)-1)
f''(x) = -2x^(-5/3) - (15/4)x^(-5/2) - (3/8)x^(-7/4)

Untuk g(x) = (x^2 - 3x + 1) / (2 - x):
Kita gunakan aturan kuosien: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2
Misalkan u = x^2 - 3x + 1, maka u' = 2x - 3
Misalkan v = 2 - x, maka v' = -1

Turunan pertama, g'(x):
g'(x) = ((2x - 3)(2 - x) - (x^2 - 3x + 1)(-1)) / (2 - x)^2
g'(x) = (4x - 2x^2 - 6 + 3x + x^2 - 3x + 1) / (2 - x)^2
g'(x) = (-x^2 + 4x - 5) / (2 - x)^2

Untuk mencari turunan kedua, kita gunakan aturan kuosien lagi pada g'(x).
Misalkan u = -x^2 + 4x - 5, maka u' = -2x + 4
Misalkan v = (2 - x)^2, maka v' = 2(2 - x)(-1) = -2(2 - x) = -4 + 2x

Turunan kedua, g''(x):
g''(x) = ((-2x + 4)(2 - x)^2 - (-x^2 + 4x - 5)(-4 + 2x)) / ((2 - x)^2)^2
g''(x) = ((-2x + 4)(4 - 4x + x^2) - (-x^2 + 4x - 5)(2x - 4)) / (2 - x)^4
Mari kita sederhanakan bagian pembilang:
Bagian 1: (-2x + 4)(x^2 - 4x + 4) = -2x^3 + 8x^2 - 8x + 4x^2 - 16x + 16 = -2x^3 + 12x^2 - 24x + 16
Bagian 2: -(-x^2 + 4x - 5)(2x - 4) = -(-2x^3 + 4x^2 + 8x^2 - 16x - 10x + 20) = -(-2x^3 + 12x^2 - 26x + 20) = 2x^3 - 12x^2 + 26x - 20

Jumlahkan kedua bagian:
(-2x^3 + 12x^2 - 24x + 16) + (2x^3 - 12x^2 + 26x - 20) = 2x - 4

Jadi, g''(x) = (2x - 4) / (2 - x)^4. Kita bisa menyederhanakannya lebih lanjut:
g''(x) = 2(x - 2) / (2 - x)^4 = -2(2 - x) / (2 - x)^4 = -2 / (2 - x)^3

Jawaban:
a. Turunan kedua fungsi f adalah f''(x) = -2x^(-5/3) - (15/4)x^(-5/2) - (3/8)x^(-7/4)
b. Turunan kedua fungsi g adalah g''(x) = -2 / (2 - x)^3