Diketahui F(x)=(a+1)x^3-3bx^2-12x dibagi (x-1) akan bersisa

Nilai $b = -6$.

Pembahasan

Soal ini melibatkan konsep sisa pembagian polinomial dan titik ekstrim fungsi.

Diketahui polinomial $F(x) = (a+1)x^3 - 3bx^2 - 12x$.

Kondisi 1: $F(x)$ dibagi $(x-1)$ bersisa 13.
Menurut Teorema Sisa, jika polinomial $F(x)$ dibagi oleh $(x-c)$, maka sisanya adalah $F(c)$. Dalam kasus ini, $c=1$.
Jadi, $F(1) = 13$.
Substitusikan $x=1$ ke dalam $F(x)$:
$F(1) = (a+1)(1)^3 - 3b(1)^2 - 12(1)$
$13 = (a+1) - 3b - 12$
$13 = a + 1 - 3b - 12$
$13 = a - 3b - 11$
$a - 3b = 13 + 11$
$a - 3b = 24$ (Persamaan 1)

Kondisi 2: Kurva $y = F(x)$ mempunyai titik ekstrim lokal di $(-2, F(-2))$.
Titik ekstrim terjadi ketika turunan pertama $F'(x) = 0$.
Cari turunan pertama $F'(x)$:
$F'(x) = \frac{d}{dx}((a+1)x^3 - 3bx^2 - 12x)$
$F'(x) = 3(a+1)x^2 - 6bx - 12$

Karena terdapat titik ekstrim di $x=-2$, maka $F'(-2) = 0$.
Substitusikan $x=-2$ ke dalam $F'(x)$:
$F'(-2) = 3(a+1)(-2)^2 - 6b(-2) - 12$
$0 = 3(a+1)(4) + 12b - 12$
$0 = 12(a+1) + 12b - 12$
$0 = 12a + 12 + 12b - 12$
$0 = 12a + 12b$
Bagi kedua sisi dengan 12:
$0 = a + b$
$a = -b$ (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1. $a - 3b = 24$
2. $a = -b$

Substitusikan Persamaan 2 ke dalam Persamaan 1:
$(-b) - 3b = 24$
$-4b = 24$
$b = \frac{24}{-4}$
$b = -6$

Jadi, nilai $b = -6$.