Diketahui f(-x)=f(x)-3 . Jika integral 1 5 f(x) dx=2 dan

11

Pembahasan

Kita diberikan informasi berikut:
1. f(-x) = f(x) - 3
2. Integral dari 1 sampai 5 f(x) dx = 2
3. Integral dari 3 sampai 5 f(x) dx = -3

Kita perlu mencari nilai dari integral -3 sampai -1 f(x) dx.

Dari sifat integral, kita tahu bahwa:
Integral dari a sampai b f(x) dx = - Integral dari b sampai a f(x) dx.

Kita juga bisa memecah integral:
Integral dari 1 sampai 5 f(x) dx = Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx + Integral dari 3 sampai 5 f(x) dx.

Dari informasi (2) dan (3):
2 = Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx + (-3)
2 = Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx - 3
Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx = 2 + 3
Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx = 5

Sekarang kita gunakan sifat f(-x) = f(x) - 3.
Mari kita integralkan kedua sisi dari -3 sampai -1:
Integral dari -3 sampai -1 f(-x) dx = Integral dari -3 sampai -1 (f(x) - 3) dx
Integral dari -3 sampai -1 f(-x) dx = Integral dari -3 sampai -1 f(x) dx - Integral dari -3 sampai -1 3 dx

Untuk integral di sisi kiri, kita lakukan substitusi u = -x, sehingga du = -dx.
Ketika x = -3, u = 3.
Ketika x = -1, u = 1.
Jadi, Integral dari -3 sampai -1 f(-x) dx = Integral dari 3 sampai 1 f(u) (-du) = - Integral dari 3 sampai 1 f(u) du = Integral dari 1 sampai 3 f(u) du.
Karena variabel integrasi tidak mempengaruhi hasil, ini sama dengan Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx.

Kita sudah menghitung bahwa Integral dari 1 sampai 3 f(x) dx = 5.

Sekarang kita hitung bagian kanan dari persamaan:
Integral dari -3 sampai -1 3 dx = [3x] dari -3 sampai -1 = (3 * -1) - (3 * -3) = -3 - (-9) = -3 + 9 = 6.

Jadi, persamaan kita menjadi:
5 = Integral dari -3 sampai -1 f(x) dx - 6

Integral dari -3 sampai -1 f(x) dx = 5 + 6
Integral dari -3 sampai -1 f(x) dx = 11.

Oleh karena itu, nilai dari integral -3 sampai -1 f(x) dx adalah 11.