Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Diketahui f(x)=sin x+8pix dan g(x)=f'(x)-akar(3)f"(x),
Pertanyaan
Diketahui $f(x)=\sin x+8\pi x$ dan $g(x)=f'(x)-\sqrt{3}f"(x)$, dengan $f'(x)$ dan $f"(x)$ berturut-turut adalah turunan pertama dan kedua dari $f(x)$. Jika $g'(x)$ adalah turunan pertama dari $g(x)$, tentukan nilai $x$ yang memenuhi $g'(x)=0$ dengan $0 \le x \le 2\pi$.
Solusi
Verified
$x = \frac{\pi}{3}$ dan $x = \frac{4\pi}{3}$.
Pembahasan
Diketahui fungsi $f(x) = \sin x + 8\pi x$. Kita perlu mencari turunan pertama ($f'(x)$) dan turunan kedua ($f''(x)$) dari $f(x)$. Turunan pertama: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + 8\pi x)$ $f'(x) = \cos x + 8\pi$ Turunan kedua: $f''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + 8\pi)$ $f''(x) = -\sin x$ Selanjutnya, kita definisikan fungsi $g(x) = f'(x) - \sqrt{3} f''(x)$. Substitusikan $f'(x)$ dan $f''(x)$ ke dalam $g(x)$: $g(x) = (\cos x + 8\pi) - \sqrt{3}(-\sin x)$ $g(x) = \cos x + 8\pi + \sqrt{3}\sin x$ Kita perlu mencari turunan pertama dari $g(x)$, yaitu $g'(x)$. $g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + 8\pi + \sqrt{3}\sin x)$ $g'(x) = -\sin x + 0 + \sqrt{3}\cos x$ $g'(x) = -\sin x + \sqrt{3}\cos x$ Sekarang, kita perlu mencari nilai $x$ yang memenuhi $g'(x) = 0$ dengan kondisi $0 \le x \le 2\pi$. $-\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$ $\sqrt{3}\cos x = \sin x$ Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa membagi kedua sisi dengan $\cos x$ (dengan asumsi $\cos x \ne 0$). $\sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}$ $\sqrt{3} = \tan x$ Kita tahu bahwa $\tan x = \sqrt{3}$ terjadi pada kuadran I dan III. Pada kuadran I, $x = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Pada kuadran III, $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Kita perlu memeriksa apakah $\cos x \ne 0$ untuk nilai-nilai ini. Untuk $x = \frac{\pi}{3}$ dan $x = \frac{4\pi}{3}$, $\cos x$ tidak sama dengan nol. Kedua nilai $x = \frac{\pi}{3}$ dan $x = \frac{4\pi}{3}$ berada dalam rentang $0 \le x \le 2\pi$. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi $g'(x) = 0$ adalah $\frac{\pi}{3}$ dan $\frac{4\pi}{3}$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Turunan Fungsi Trigonometri
Section: Turunan Kedua, Penyelesaian Persamaan Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?