Diketahui f(x)=x^2/(x^2+x)^2 dan f'(x) adalah turunan

Hasil dari f'(x) adalah -2 / (x + 1)^3.

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari fungsi f(x) = x^2 / (x^2 + x)^2, kita akan menggunakan aturan kuosien dan aturan rantai.

Aturan kuosien menyatakan bahwa jika f(x) = u(x) / v(x), maka f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2.

Dalam kasus ini, u(x) = x^2 dan v(x) = (x^2 + x)^2.

Langkah 1: Cari turunan dari u(x).
u'(x) = d/dx (x^2) = 2x.

Langkah 2: Cari turunan dari v(x) menggunakan aturan rantai.
Misalkan w(x) = x^2 + x, maka v(x) = [w(x)]^2.
v'(x) = 2 * [w(x)]^(2-1) * w'(x)
v'(x) = 2 * (x^2 + x) * d/dx (x^2 + x)
v'(x) = 2 * (x^2 + x) * (2x + 1).

Langkah 3: Terapkan aturan kuosien.
f'(x) = [ (2x) * (x^2 + x)^2 - (x^2) * {2 * (x^2 + x) * (2x + 1)} ] / [ (x^2 + x)^2 ]^2

Sederhanakan penyebutnya:
[ (x^2 + x)^2 ]^2 = (x^2 + x)^4.

Sederhanakan pembilangnya:
f'(x) = [ 2x(x^2 + x)^2 - 2x^2(x^2 + x)(2x + 1) ] / (x^2 + x)^4

Kita bisa mengeluarkan faktor (x^2 + x) dari kedua suku di pembilang:
f'(x) = [ (x^2 + x) * { 2x(x^2 + x) - 2x^2(2x + 1) } ] / (x^2 + x)^4

Batalkan satu faktor (x^2 + x) dari pembilang dan penyebut:
f'(x) = [ 2x(x^2 + x) - 2x^2(2x + 1) ] / (x^2 + x)^3

Sekarang, sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku pada pembilang:
2x(x^2 + x) = 2x^3 + 2x^2
2x^2(2x + 1) = 4x^3 + 2x^2

Jadi, pembilangnya menjadi:
(2x^3 + 2x^2) - (4x^3 + 2x^2) = 2x^3 + 2x^2 - 4x^3 - 2x^2 = -2x^3.

Sehingga, hasil dari f'(x) adalah:
f'(x) = -2x^3 / (x^2 + x)^3.

Kita juga bisa menyederhanakan penyebutnya lebih lanjut dengan mengeluarkan faktor x:
x^2 + x = x(x + 1)
(x^2 + x)^3 = [x(x + 1)]^3 = x^3(x + 1)^3.

Maka, f'(x) = -2x^3 / [x^3(x + 1)^3].

Batalkan x^3 dari pembilang dan penyebut:
f'(x) = -2 / (x + 1)^3.

Jadi, hasil dari f'(x) adalah -2 / (x + 1)^3.