Diketahui f(x)=|x|. Dengan menggunakan definisi turunan,

f'(x) = 1 jika x > 0, f'(x) = -1 jika x < 0, dan tidak terdefinisi di x = 0.

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = |x|.
Untuk mencari turunan pertama f(x) menggunakan definisi turunan, kita gunakan rumus:
f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

Substitusikan f(x) = |x| ke dalam rumus:
f'(x) = lim (h→0) [|x+h| - |x|] / h

Kita perlu mempertimbangkan dua kasus:
Kasus 1: x > 0
Jika x > 0, maka untuk h yang cukup kecil, x+h juga akan positif.
|x+h| = x+h
|x| = x
f'(x) = lim (h→0) [(x+h) - x] / h
f'(x) = lim (h→0) [h] / h
f'(x) = lim (h→0) 1
f'(x) = 1

Kasus 2: x < 0
Jika x < 0, maka untuk h yang cukup kecil, x+h juga akan negatif.
|x+h| = -(x+h)
|x| = -x
f'(x) = lim (h→0) [-(x+h) - (-x)] / h
f'(x) = lim (h→0) [-x - h + x] / h
f'(x) = lim (h→0) [-h] / h
f'(x) = lim (h→0) -1
f'(x) = -1

Kasus 3: x = 0
Untuk x = 0, kita perlu memeriksa limit dari kiri dan kanan.
Limit dari kanan (h→0+): lim (h→0+) [|0+h| - |0|] / h = lim (h→0+) |h| / h = lim (h→0+) h / h = 1
Limit dari kiri (h→0-): lim (h→0-) [|0+h| - |0|] / h = lim (h→0-) |h| / h = lim (h→0-) (-h) / h = -1

Karena limit dari kiri dan kanan tidak sama di x=0, maka turunan f(x) = |x| tidak terdefinisi di x=0.

Jadi, turunan pertama dari f(x) = |x| adalah:
f'(x) = 1, jika x > 0
f'(x) = -1, jika x < 0
Turunan tidak terdefinisi di x = 0.