Diketahui fungsi distribusi peluang variabel acak

Grafik berupa fungsi tangga dengan lompatan pada x=1, 2, 3, 4 dengan nilai kumulatif berturut-turut 1/6, 5/12, 2/3, dan 1.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik distribusi kumulatif dari fungsi distribusi peluang yang diberikan, kita perlu menghitung nilai kumulatifnya untuk setiap nilai x yang mungkin.

Fungsi distribusi peluang (FDP) yang diberikan adalah:
f(x) = x/12, untuk x = 3 dan x = 4
f(x) = (x+1)/12, untuk x = 1 dan x = 2
f(x) = 0, untuk x yang lain

Mari kita hitung nilai FDP untuk setiap x:
f(1) = (1+1)/12 = 2/12 = 1/6
f(2) = (2+1)/12 = 3/12 = 1/4
f(3) = 3/12 = 1/4
f(4) = 4/12 = 1/3

Selanjutnya, kita hitung fungsi distribusi kumulatif (FDK), F(x), yang merupakan jumlah dari FDP hingga nilai x tertentu.
F(x) = P(X ≤ x)

F(0) = 0 (karena f(x)=0 untuk x < 1)

F(1) = P(X ≤ 1) = f(1) = 1/6

F(2) = P(X ≤ 2) = f(1) + f(2) = 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12

F(3) = P(X ≤ 3) = f(1) + f(2) + f(3) = 1/6 + 1/4 + 1/4 = 1/6 + 2/4 = 1/6 + 1/2 = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3
Atau F(3) = F(2) + f(3) = 5/12 + 1/4 = 5/12 + 3/12 = 8/12 = 2/3

F(4) = P(X ≤ 4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1/6 + 1/4 + 1/4 + 1/3 = 2/3 + 1/3 = 1
Atau F(4) = F(3) + f(4) = 2/3 + 1/3 = 1

Jadi, fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
F(x) = 0, untuk x < 1
F(x) = 1/6, untuk 1 ≤ x < 2
F(x) = 5/12, untuk 2 ≤ x < 3
F(x) = 2/3, untuk 3 ≤ x < 4
F(x) = 1, untuk x ≥ 4

Grafik distribusi kumulatif akan berupa grafik tangga (step function) dengan nilai-nilai lompatan pada x = 1, 2, 3, dan 4.

Pada sumbu x, kita tandai titik 1, 2, 3, 4.
Pada sumbu y, kita tandai nilai 0, 1/6, 5/12, 2/3, 1.

- Dari x < 1 hingga x = 1 (tidak termasuk), nilai F(x) adalah 0.
- Pada x = 1, nilai F(x) melompat ke 1/6, dan berlaku hingga x = 2 (tidak termasuk).
- Pada x = 2, nilai F(x) melompat ke 5/12, dan berlaku hingga x = 3 (tidak termasuk).
- Pada x = 3, nilai F(x) melompat ke 2/3, dan berlaku hingga x = 4 (tidak termasuk).
- Pada x = 4, nilai F(x) melompat ke 1, dan berlaku untuk x ≥ 4.

Secara visual, grafik akan dimulai dari y=0 di sebelah kiri x=1, kemudian ada garis horizontal di y=1/6 antara x=1 dan x=2, garis horizontal di y=5/12 antara x=2 dan x=3, garis horizontal di y=2/3 antara x=3 dan x=4, dan garis horizontal di y=1 untuk x ≥ 4. Titik-titik pada ujung kanan setiap segmen horizontal (yaitu pada x=1, 2, 3, 4) akan terisi (solid), sedangkan titik-titik pada ujung kiri (sebelum x=1, 2, 3, 4) akan kosong (hollow) kecuali untuk x < 1.

Jawaban Singkat: Grafik berupa fungsi tangga dengan lompatan pada x=1, 2, 3, 4 dengan nilai kumulatif berturut-turut 1/6, 5/12, 2/3, dan 1.