Diketahui fungsi f : R -> R dengan f(x) = (5-3x)/(2-x)

Tidak terdefinisi

Pembahasan

Diketahui fungsi f(x) = (5-3x)/(2-x). Kita ingin mencari nilai f^(-1)(3).
Misalkan y = f(x), maka y = (5-3x)/(2-x).
Untuk mencari inversnya, kita tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.

x = (5-3y)/(2-y)
x(2-y) = 5-3y
2x - xy = 5 - 3y
3y - xy = 5 - 2x
y(3 - x) = 5 - 2x
y = (5 - 2x) / (3 - x)

Jadi, f^(-1)(x) = (5 - 2x) / (3 - x).

Sekarang kita substitusikan x = 3 ke dalam f^(-1)(x):
f^(-1)(3) = (5 - 2(3)) / (3 - 3)
f^(-1)(3) = (5 - 6) / 0
f^(-1)(3) = -1 / 0

Karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi, mari kita periksa kembali pemahaman soal atau asumsi. 

Alternatif lain: Misalkan f^(-1)(3) = k. Maka f(k) = 3.
(5-3k)/(2-k) = 3
5 - 3k = 3(2-k)
5 - 3k = 6 - 3k
5 = 6

Hasil ini menunjukkan kontradiksi, yang berarti tidak ada nilai k sehingga f(k) = 3. Ini mengindikasikan bahwa nilai 3 tidak termasuk dalam range dari fungsi f(x), atau ada kesalahan dalam soal atau pertanyaan. 

Mari kita periksa domain dari f^(-1)(x). Domain dari f^(-1)(x) adalah range dari f(x). Range dari f(x) = (5-3x)/(2-x) adalah semua bilangan real kecuali -3 (didapat dari limit saat x mendekati tak hingga atau dengan mencari asimtot horizontal). Karena 3 tidak sama dengan -3, seharusnya 3 ada di domain f^(-1)(x).

Ada kemungkinan kesalahan ketik pada soal. Jika kita mengasumsikan soalnya benar, maka jawabannya adalah tidak terdefinisi karena 3 bukan merupakan hasil dari fungsi f(x) untuk setiap x di domainnya. Namun, jika kita harus memilih jawaban berdasarkan perhitungan, mari kita kembali ke langkah sebelumnya:

y = (5 - 2x) / (3 - x)

Jika kita harus menghitung f^(-1)(3), maka:
Jika kita substitusi x=3, penyebutnya menjadi nol. Ini menunjukkan bahwa 3 adalah asimtot vertikal untuk fungsi invers, yang berarti 3 tidak ada dalam domain fungsi invers.

Namun, jika kita melihat soalnya, 'Diketahui fungsi f : R -> R dengan f(x) = (5-3x)/(2-x) untuk x =/=-2'. Mungkin ada batasan pada domain yang perlu diperhatikan.

Mari kita asumsikan ada nilai invers yang dicari. Jika f(k) = 3, maka (5-3k)/(2-k) = 3 -> 5-3k = 6-3k -> 5 = 6. Ini tidak mungkin.

Jika soalnya adalah mencari nilai x sehingga f(x) = 3, maka 5 = 6, yang juga tidak mungkin. Ini mengkonfirmasi bahwa 3 bukan nilai yang bisa dicapai oleh fungsi f(x). Sehingga f^(-1)(3) tidak terdefinisi.