Diketahui fungsi f(x)=3 x+2 dan g(x)=x^3+2a. Tentukan f^-1

f⁻¹(x) = (x - 2) / 3, g⁻¹(x) = ³√(x - 2a). f o g(x) = 3x³ + 6a + 2. (f o g)⁻¹(x) = ³√((x - 6a - 2) / 3). Terbukti (f o g)⁻¹(x) = g⁻¹ o f⁻¹(x).

Pembahasan

Untuk menentukan invers fungsi dan komposisi fungsi:
a. Mencari invers fungsi:
   Untuk f(x) = 3x + 2:
   Misalkan y = 3x + 2
   y - 2 = 3x
   x = (y - 2) / 3
   Jadi, f⁻¹(x) = (x - 2) / 3

   Untuk g(x) = x³ + 2a:
   Misalkan y = x³ + 2a
   y - 2a = x³
   x = ³√(y - 2a)
   Jadi, g⁻¹(x) = ³√(x - 2a)

b. Menentukan aturan f o g dan (f o g)⁻¹:
   f o g(x) = f(g(x)) = f(x³ + 2a) = 3(x³ + 2a) + 2 = 3x³ + 6a + 2

   Untuk mencari (f o g)⁻¹(x):
   Misalkan y = 3x³ + 6a + 2
   y - (6a + 2) = 3x³
   (y - 6a - 2) / 3 = x³
   x = ³√((y - 6a - 2) / 3)
   Jadi, (f o g)⁻¹(x) = ³√((x - 6a - 2) / 3)

c. Menunjukkan bahwa (f o g)⁻¹(x) = g⁻¹ o f⁻¹(x):
   g⁻¹ o f⁻¹(x) = g⁻¹(f⁻¹(x)) = g⁻¹((x - 2) / 3)
   = ³√(((x - 2) / 3) - 2a)
   = ³√((x - 2 - 6a) / 3)
   = ³√((x - 6a - 2) / 3)

   Karena ³√((x - 6a - 2) / 3) = ³√((x - 6a - 2) / 3), maka terbukti bahwa (f o g)⁻¹(x) = g⁻¹ o f⁻¹(x).