Diketahui fungsi f(x)=x+1/x , dengan x tidak sama dengan

2 ± sqrt(3)

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x + 1/x, dengan x ≠ 0. Kita perlu mencari f'(x) dan kemudian menghitung f^-1(k), di mana k adalah banyaknya faktor prima dari 210.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Menggunakan aturan turunan: d/dx (x^n) = nx^(n-1).
Turunan dari x adalah 1.
Turunan dari 1/x (atau x^-1) adalah -1*x^(-1-1) = -x^-2 = -1/x^2.
Jadi, f'(x) = 1 - 1/x^2.

Langkah 2: Cari faktor prima dari 210.
210 = 2 * 105
105 = 3 * 35
35 = 5 * 7
Jadi, faktorisasi prima dari 210 adalah 2 * 3 * 5 * 7.
Banyaknya faktor prima dari 210 adalah 4.
Maka, k = 4.

Langkah 3: Tentukan invers dari f(x), yaitu f^-1(x).
Misalkan y = f(x), sehingga y = x + 1/x.
Untuk mencari invers, kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk x dalam bentuk y.
Kalikan kedua sisi dengan x: xy = x^2 + 1
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat: x^2 - xy + 1 = 0.
Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan x: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a.
Di sini, a=1, b=-y, c=1.
x = [y ± sqrt((-y)^2 - 4*1*1)] / (2*1)
x = [y ± sqrt(y^2 - 4)] / 2
Jadi, f^-1(y) = [y ± sqrt(y^2 - 4)] / 2.
Atau, f^-1(x) = [x ± sqrt(x^2 - 4)] / 2.

Langkah 4: Hitung nilai f^-1(k), yaitu f^-1(4).
Substitusikan k=4 ke dalam rumus invers:
f^-1(4) = [4 ± sqrt(4^2 - 4)] / 2
f^-1(4) = [4 ± sqrt(16 - 4)] / 2
f^-1(4) = [4 ± sqrt(12)] / 2
f^-1(4) = [4 ± 2*sqrt(3)] / 2
f^-1(4) = 2 ± sqrt(3).

Karena soal ini menyatakan f'(x) adalah invers fungsi f, yang mana ini adalah notasi yang tidak standar karena f'(x) biasanya berarti turunan pertama, dan juga tidak ada informasi lebih lanjut mengenai batasan domain f(x) yang akan menentukan pilihan tanda + atau -. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal merujuk pada invers fungsi secara umum, maka kedua nilai tersebut valid tergantung pada pembatasan domain yang tidak diberikan.

Jika kita mengasumsikan bahwa f'(x) dalam soal merujuk pada turunan pertama yang sebenarnya, maka ini adalah soal yang kontradiktif karena f'(x) = 1 - 1/x^2 bukan merupakan invers dari f(x) = x + 1/x. Dalam konteks ini, soal tidak dapat diselesaikan seperti yang tertulis.

Namun, jika kita mengabaikan notasi f'(x) sebagai turunan dan menganggapnya sebagai simbol untuk invers fungsi f^-1, maka kita telah menemukan dua kemungkinan nilai untuk f^-1(k).

Karena ketidakjelasan dalam soal mengenai notasi f'(x) sebagai invers dan tidak adanya batasan domain untuk menentukan cabang invers yang benar, kita akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa f'(x) seharusnya f^-1(x).

Jawaban yang paling mungkin dimaksudkan adalah salah satu dari 2 + sqrt(3) atau 2 - sqrt(3). Tanpa informasi tambahan, tidak mungkin untuk menentukan satu jawaban tunggal.