Diketahui fungsi g(x)=cos (x-(pi/3)) untuk 0<=x<=2pi.

Fungsi g naik pada interval (0, π/3) dan (4π/3, 2π).

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi g(x) = cos(x - π/3) naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunan tersebut positif.

1.  **Turunan Pertama Fungsi g(x):**
    Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'.
    Dalam kasus ini, u = x - π/3, sehingga u' = 1.
    Maka, g'(x) = -sin(x - π/3) * 1
    g'(x) = -sin(x - π/3)

2.  **Menentukan Interval Kenaikan:**
    Fungsi g(x) naik ketika g'(x) > 0.
    Jadi, kita perlu menyelesaikan ketidaksamaan:
    -sin(x - π/3) > 0
    sin(x - π/3) < 0

3.  **Mencari Nilai Sinus yang Negatif:**
    Fungsi sinus bernilai negatif pada kuadran III dan IV.
    Misalkan θ = x - π/3.
    Kita mencari θ sehingga sin(θ) < 0.
    Ini terjadi ketika π < θ < 2π.

4.  **Mengganti Kembali θ dengan (x - π/3):**
    π < x - π/3 < 2π

5.  **Menyelesaikan Ketidaksamaan untuk x:**
    Tambahkan π/3 ke semua bagian ketidaksamaan:
    π + π/3 < x < 2π + π/3
    4π/3 < x < 7π/3

6.  **Mempertimbangkan Domain 0 ≤ x ≤ 2π:**
    Interval yang kita dapatkan adalah 4π/3 < x < 7π/3. Namun, domain yang diberikan adalah 0 ≤ x ≤ 2π.
    Kita perlu mencari irisan antara interval kenaikan (4π/3 < x < 7π/3) dan domain yang diberikan (0 ≤ x ≤ 2π).

    *   4π/3 berada dalam domain [0, 2π].
    *   7π/3 = 2π + π/3, yang berarti nilai ini berada di luar domain [0, 2π].

    Mari kita analisis lebih lanjut kapan sin(x - π/3) < 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π.
    Ketika x = 0, x - π/3 = -π/3. Sin(-π/3) = -√3/2 (negatif).
    Ketika x = π/3, x - π/3 = 0. Sin(0) = 0.
    Ketika x = 4π/3, x - π/3 = π. Sin(π) = 0.
    Ketika x = 7π/3, x - π/3 = 2π. Sin(2π) = 0.

    Fungsi sin(α) bernilai negatif ketika α berada di kuadran III dan IV.
    Untuk α = x - π/3:
    *   Kuadran III: π < x - π/3 < 3π/2
        π + π/3 < x < 3π/2 + π/3
        4π/3 < x < (9π + 2π)/6
        4π/3 < x < 11π/6

    *   Kuadran IV: 3π/2 < x - π/3 < 2π
        3π/2 + π/3 < x < 2π + π/3
        11π/6 < x < 7π/3

    Karena domainnya adalah 0 ≤ x ≤ 2π, maka interval kenaikan adalah:
    4π/3 < x < 11π/6
    dan
    11π/6 < x < 2π (karena 7π/3 di luar domain).

    Jadi, fungsi g(x) naik pada interval (4π/3, 11π/6) dan (11π/6, 2π).

    Mari kita periksa kembali kondisi sin(x - π/3) < 0.
    Nilai x - π/3 berada dalam rentang [-π/3, 2π - π/3] = [-π/3, 5π/3].
    Dalam rentang [-π/3, 5π/3], sin(α) bernilai negatif ketika:
    *   -π/3 < α < 0 (Kuadran IV, dari -π/3 hingga 0)
    *   π < α < 5π/3 (Kuadran III dan IV)

    Jadi, kita perlu -π/3 < x - π/3 < 0 ATAU π < x - π/3 < 5π/3.

    Kasus 1: -π/3 < x - π/3 < 0
    Tambahkan π/3 ke semua sisi:
    0 < x < π/3
    Interval ini berada dalam domain 0 ≤ x ≤ 2π.

    Kasus 2: π < x - π/3 < 5π/3
    Tambahkan π/3 ke semua sisi:
    π + π/3 < x < 5π/3 + π/3
    4π/3 < x < 6π/3
    4π/3 < x < 2π
    Interval ini juga berada dalam domain 0 ≤ x ≤ 2π.

    Jadi, fungsi g(x) naik ketika 0 < x < π/3 atau 4π/3 < x < 2π.

    Mari kita periksa tanda g'(x) = -sin(x - π/3) pada interval yang berbeda:
    *   0 < x < π/3: x - π/3 berada di (-π/3, 0). sin(x - π/3) negatif. Maka g'(x) = - (negatif) = positif. Jadi, g(x) naik.
    *   π/3 < x < 4π/3: x - π/3 berada di (0, π). sin(x - π/3) positif. Maka g'(x) = - (positif) = negatif. Jadi, g(x) turun.
    *   4π/3 < x < 2π: x - π/3 berada di (π, 5π/3). sin(x - π/3) negatif. Maka g'(x) = - (negatif) = positif. Jadi, g(x) naik.

    Oleh karena itu, fungsi g(x) naik pada interval (0, π/3) dan (4π/3, 2π).

Jawaban yang paling tepat adalah fungsi g naik pada interval (0, π/3) dan (4π/3, 2π).