Diketahui fungsi sebagai berikut! fo g(x)=9 x^2+12 x+3 dan

f(x) = x^2 + 2x

Pembahasan

Untuk menentukan f(x) dari komposisi fungsi yang diketahui, kita perlu melakukan substitusi mundur.

Diketahui:
Komposisi fungsi: (f o g)(x) = 9x^2 + 12x + 3
Fungsi g(x): g(x) = 3x + 1

Kita tahu bahwa (f o g)(x) = f(g(x)).
Ini berarti kita mengganti 'x' dalam fungsi f dengan ekspresi g(x).

Mari kita ubah g(x) agar lebih mudah disubstitusikan. Jika kita misalkan y = g(x) = 3x + 1, maka kita perlu mencari ekspresi x dalam bentuk y.
3x = y - 1
x = (y - 1) / 3

Sekarang, kita substitusikan x = (y - 1) / 3 ke dalam persamaan (f o g)(x) = 9x^2 + 12x + 3.

f(y) = 9 * [ (y - 1) / 3 ]^2 + 12 * [ (y - 1) / 3 ] + 3
f(y) = 9 * [ (y^2 - 2y + 1) / 9 ] + 4 * (y - 1) + 3
f(y) = (y^2 - 2y + 1) + 4y - 4 + 3
f(y) = y^2 - 2y + 1 + 4y - 1
f(y) = y^2 + 2y

Karena y adalah variabel dummy, kita bisa menggantinya kembali dengan x untuk mendapatkan f(x).

f(x) = x^2 + 2x

Cara lain, kita bisa mencoba memanipulasi ekspresi (f o g)(x) agar sesuai dengan bentuk g(x).
Perhatikan bahwa 9x^2 + 12x + 3 dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna yang melibatkan (3x+1).

9x^2 + 12x + 3 = (9x^2 + 6x + 1) + 6x + 2
Ini tidak langsung terlihat.

Mari kita coba manipulasi lain:
Perhatikan bentuk g(x) = 3x + 1. Kuadrat dari g(x) adalah (3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1.
Nilai yang diberikan adalah 9x^2 + 12x + 3.
Kita bisa menulisnya sebagai:
9x^2 + 12x + 3 = (9x^2 + 6x + 1) + 6x + 2

Ini juga kurang membantu.

Mari kita kembali ke cara pertama yang lebih sistematis:
Kita tahu g(x) = 3x + 1. Maka, f(g(x)) = f(3x + 1) = 9x^2 + 12x + 3.

Jika kita perhatikan bagian akhir dari f(x), yaitu x^2 + 2x, mari kita cek:
Jika f(x) = x^2 + 2x, maka f(g(x)) = f(3x+1) = (3x+1)^2 + 2(3x+1)
= (9x^2 + 6x + 1) + (6x + 2)
= 9x^2 + 12x + 3

Ini cocok dengan komposisi fungsi yang diberikan.
Jadi, f(x) adalah x^2 + 2x.