Diketahui matriks B = (1 2 0 3 -4 5 0 -1 2) dan

216

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung nilai dari f(B) di mana B adalah matriks dan f(x) adalah fungsi polinomial, kemudian menentukan nilai a, b, dan c, dan terakhir menghitung a^3 + b^3 + c^3.

Diketahui:
Matriks B = 
[ 1  2  0 ]
[ 3 -4  5 ]
[ 0 -1  2 ]

Fungsi f(x) = x^2 - 4x + 3.

Kita perlu menghitung f(B) = B^2 - 4B + 3I, di mana I adalah matriks identitas yang ukurannya sama dengan B.

Langkah 1: Hitung B^2.
B^2 = B * B =
[ 1  2  0 ]   [ 1  2  0 ]   [ (1*1+2*3+0*0)  (1*2+2*(-4)+0*(-1))  (1*0+2*5+0*2) ]
[ 3 -4  5 ] * [ 3 -4  5 ] = [ (3*1+(-4)*3+5*0)  (3*2+(-4)*(-4)+5*(-1))  (3*0+(-4)*5+5*2) ]
[ 0 -1  2 ]   [ 0 -1  2 ]   [ (0*1+(-1)*3+2*0)  (0*2+(-1)*(-4)+2*(-1))  (0*0+(-1)*5+2*2) ]

B^2 =
[ (1+6+0)  (2-8+0)  (0+10+0) ]   [  7  -6  10 ]
[ (3-12+0) (6+16-5) (0-20+10) ] = [ -9  17 -10 ]
[ (0-3+0)  (0+4-2)  (0-5+4)  ]   [ -3   2  -1 ]

Langkah 2: Hitung 4B.
4B =
[ 4*1  4*2  4*0 ]   [  4   8   0 ]
[ 4*3 4*(-4) 4*5 ] = [ 12 -16  20 ]
[ 4*0 4*(-1) 4*2 ]   [  0  -4   8 ]

Langkah 3: Hitung 3I (matriks identitas dikalikan 3).
I =
[ 1  0  0 ]
[ 0  1  0 ]
[ 0  0  1 ]

3I =
[ 3  0  0 ]
[ 0  3  0 ]
[ 0  0  3 ]

Langkah 4: Hitung f(B) = B^2 - 4B + 3I.

f(B) =
[  7  -6  10 ]   [  4   8   0 ]   [ 3  0  0 ]
[ -9  17 -10 ] - [ 12 -16  20 ] + [ 0  3  0 ]
[ -3   2  -1 ]   [  0  -4   8 ]   [ 0  0  3 ]

Operasi pengurangan dan penjumlahan elemen per elemen:

Elemen (1,1): 7 - 4 + 3 = 6
Elemen (1,2): -6 - 8 + 0 = -14
Elemen (1,3): 10 - 0 + 0 = 10

Elemen (2,1): -9 - 12 + 0 = -21
Elemen (2,2): 17 - (-16) + 3 = 17 + 16 + 3 = 36
Elemen (2,3): -10 - 20 + 0 = -30

Elemen (3,1): -3 - 0 + 0 = -3
Elemen (3,2): 2 - (-4) + 0 = 2 + 4 + 0 = 6
Elemen (3,3): -1 - 8 + 3 = -6

Jadi, f(B) =
[  6  -14  10 ]
[ -21  36 -30 ]
[ -3   6  -6 ]

Diketahui bahwa f(B) = (a -14 10 -21 36 -30 -3 b c).
Kita bandingkan hasil perhitungan kita dengan bentuk yang diberikan:

[  6  -14  10 ]
[ -21  36 -30 ]
[ -3   6  -6 ]

Dengan:
[ a  -14  10 ]
[ -21  36 -30 ]
[ -3   b   c ]

Dari perbandingan ini, kita dapatkan:
- Elemen (1,1): a = 6
- Elemen (3,2): b = 6
- Elemen (3,3): c = -6

Langkah 5: Hitung a^3 + b^3 + c^3.

a^3 = 6^3 = 6 * 6 * 6 = 216

b^3 = 6^3 = 6 * 6 * 6 = 216

c^3 = (-6)^3 = (-6) * (-6) * (-6) = 36 * (-6) = -216


a^3 + b^3 + c^3 = 216 + 216 + (-216)

a^3 + b^3 + c^3 = 216 + 216 - 216

a^3 + b^3 + c^3 = 216

Jadi, nilai a^3 + b^3 + c^3 adalah 216.